シローの定理

テンプレート:Groups 数学、特に有限群論におけるシローの定理 (テンプレート:Lang-en-short) は、ノルウェーの数学者ルートヴィヒ・シロー (Ludwig Sylow) ([[#テンプレート:Harvid|1872]]) にちなんで名づけられた一連の定理。与えられた有限群について、その特定位数の部分群の存在とそれらの個数に関する詳細な情報を与える。有限群論の基本的な定理であり、特に有限単純群の分類において重要な応用を持つ。

与えられた素数テンプレート:Mvar に対して、群テンプレート:Mvar のシローテンプレート:Mvar-部分群（テンプレート:Lang-en-short）あるいは テンプレート:Mvar-シロー部分群（テンプレート:Lang-en-short）とは、テンプレート:Mvar の極大テンプレート:Mvar-部分群、つまり位数がテンプレート:Mvar の冪であるような部分群([[p-群|テンプレート:Mvar-群]]）であり、テンプレート:Mvar の他のどんなテンプレート:Mvar-部分群の真部分群にもなっていないようなものをいう。テンプレート:Mvar のすべてのシローテンプレート:Mvar 部分群からなる集合を Syl_{テンプレート:Mvar}(テンプレート:Mvar) と書くことがある。

シローの定理はラグランジュの定理の部分的な逆を主張する。ラグランジュの定理は、任意の有限群テンプレート:Mvar に対してテンプレート:Mvar の部分群の位数（元の個数）はテンプレート:Mvar の位数を割り切るというものだが、シローの定理は、有限群テンプレート:Mvar の位数の任意の素因数テンプレート:Mvar に対して、テンプレート:Mvar のシローテンプレート:Mvar 部分群が常に存在することを主張する。また、テンプレート:Mvar を有限群テンプレート:Mvar の位数におけるテンプレート:Mvar の重複度とすると、テンプレート:Mvar のシローテンプレート:Mvar 部分群の位数はテンプレート:Mvar となり、逆に位数テンプレート:Mvar の任意のテンプレート:Mvar の部分群はシローテンプレート:Mvar 部分群となる。与えられた素数テンプレート:Mvar に対して、群のシローテンプレート:Mvar-部分群は互いに共役であり、シローテンプレート:Mvar-部分群の個数テンプレート:Math はテンプレート:Mvar を適当な整数テンプレート:Math としてテンプレート:Math と表される。

シローの定理

それぞれなんらかの意味で極大な部分群の集まりというのは群論においてよくある。ここで驚くべき結果は、Syl_{テンプレート:Mvar}(テンプレート:Mvar) の場合には、すべての元が実は互いに同型で、可能な最大の位数を持っているということである： |テンプレート:Mvar| = テンプレート:Mvar, テンプレート:Mvar > 0 で、テンプレート:Mvar がテンプレート:Mvar を割り切らなければ、任意のシローテンプレート:Mvar-部分群テンプレート:Mvar の位数は |テンプレート:Mvar| = テンプレート:Mvar である。つまり、テンプレート:Mvar はテンプレート:Mvar-群であり gcd(|テンプレート:Mvar : テンプレート:Mvar|, テンプレート:Mvar) = 1 である。これらの性質はテンプレート:Mvar の構造をさらに分析するために利用することができる。

以下の定理は最初ルードヴィヒ・シローによって1872年に提出及び証明され、Mathematische Annalen 誌に掲載された^[1]。

テンプレート:Math theorem

定理1の次の弱いバージョンは最初オーギュスタン゠ルイ・コーシーによって1845年に証明され、コーシーの定理として知られている。

テンプレート:Math theorem

結果

シローの定理より、素数テンプレート:Mvar に対して、すべてのシローテンプレート:Mvar-部分群は同じ位数テンプレート:Mvar を持つ。逆に、部分群の位数がテンプレート:Mvar であれば、それはシローテンプレート:Mvar-部分群であり、従って他のすべてのシローテンプレート:Mvar-部分群と同型である。極大性の条件より、テンプレート:Mvar がテンプレート:Mvar の任意のテンプレート:Mvar-部分群であれば、テンプレート:Mvar は位数テンプレート:Mvar のシローテンプレート:Mvar-部分群の部分群である。

定理3による非常に重要な結果として、テンプレート:Mvar = 1 という条件は、「テンプレート:Mvar のシローテンプレート:Mvar-部分群は正規部分群である」という条件と同値であるというものがある。（4次対称群テンプレート:Mvar₄ のように、正規部分群は持つが、正規なシロー部分群を持たない群も存在する。)

注

有限群テンプレート:Mvar のシローテンプレート:Mvar-部分群を、|テンプレート:Mvar| = テンプレート:Mvar （テンプレート:Mvar はテンプレート:Mvar を割らない）としたとき、位数テンプレート:Mvar の部分群と定義することもある。その場合、定理1はテンプレート:Math theorem となる。テンプレート:Mvar = 1 とすることによりシローテンプレート:Mvar 部分群の存在も含まれているが、これらを分けてシローの定理を4つとする人もいる。

無限群に対するシローの定理

テンプレート:仮リンクに対して、シローの定理の類似がある。無限群テンプレート:Mvar のシローテンプレート:Mvar-部分群を、テンプレート:Mvar のすべてのテンプレート:Mvar-部分群の中で包含関係について極大なテンプレート:Mvar-部分群（すべての元の位数がテンプレート:Mvar 冪）と定義する。ツォルンの補題により、そのような部分群は必ず存在する。

テンプレート:Math theorem

例

二面体群

シロー部分群とシローの定理の簡単な実例はテンプレート:Mvar角形の二面体群テンプレート:Mvarである。テンプレート:Mvarが奇数の場合、2=2¹が位数2テンプレート:Mvarを割る最大の2のベキであるため、位数2の部分群がシロー部分群である。鏡映によって生成される群がテンプレート:Mvar種類存在し、幾何学的にはそれらは回転について共役である(どの対称軸も頂点と辺を通るため)。それに対して、テンプレート:Mvarが偶数の場合、群の位数は4で割り切れるため、鏡映によって生成される群はシロー部分群にはならず、2種類の共役類に分解される。幾何学的にはその対称軸が2辺を通るか2頂点を通るかによってどちらの共役類に属するかが決まる。これは外部自己同型と関係しており、テンプレート:Π/テンプレート:Mvar ラジアンの回転(二面体群の最小の回転の半分)によって表現される。

一般線型群

U = {(\begin{matrix} 1 & x & z \\ 0 & 1 & y \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) | x, y, z \in 𝔽_{q}}

は GL(3, テンプレート:Mvar) のシローテンプレート:Mvar-部分群で、位数がテンプレート:Mvar³である。一般のテンプレート:Mvar についても同様で、主対角成分が1の上三角行列からなる群は GL(テンプレート:Mvar, テンプレート:Mvar) のシローテンプレート:Mvar-部分群である。

適用例

巡回群の位数

位数テンプレート:Mvar の群は巡回群に限るような正の整数テンプレート:Mvar がある。たとえばテンプレート:Mvar = 15 がそのような数であることがシローの定理を用いることでわかる。ここでテンプレート:Mvar₃ | 5 かつテンプレート:Mvar₃ ≡ 1 (mod 3) である。これを満たす唯一のテンプレート:Mvar₃ は 1 である。つまり、位数3の部分群はただ1つ存在し、よって正規部分群である (別の共役が存在しないため)。同様に、テンプレート:Mvar₅ | 3 かつテンプレート:Mvar₅ ≡ 1 (mod 5) であるため、位数5の部分群は正規部分群となる。3と5は互いに素であるため、これら2つの群の共通部分は自明な群であり、よってテンプレート:Mvar は位数3の群と位数5の群の内部直積であるため、位数15の巡回群である。したがって、位数15の群は同型を除いてただ一つである。（このような整数テンプレート:Mvar についてはテンプレート:Oeisも参照。）

位数の小さな群が単純群ではないこと

もっと複雑な例は巡回群ではない最小の単純群の位数に関係する例である。バーンサイドの定理より、ある群の位数が二つの素数の冪の積であれば、その群は可解群であり、特に単純群ではない。これにより位数 30 テンプレート:Nowrap 未満の巡回群でないすべての群は単純群でないことが示される。

もしテンプレート:Mvar が位数30の単純群であれば、テンプレート:Mvar₃ は 10 (= 2 · 5) を割り切り、テンプレート:Mvar₃ ≡ 1 (mod 3) が成り立つ。よってテンプレート:Mvar₃ = 1, 10 であり、テンプレート:Mvar が単純群なのでテンプレート:Mvar₃ = 1 とはならないため、テンプレート:Mvar₃ = 10 である。よってテンプレート:Mvar は互いに異なる10種類の位数3の部分群を持ち、それぞれの部分群は位数3の元を2個持つ。つまりテンプレート:Mvar は位数3の元を少なくとも20個持つ。同様に、テンプレート:Mvar₅ は 6 を割り切り、テンプレート:Mvar₅ ≡ 1 (mod 5) であるため、テンプレート:Mvar₅ = 6 である。よってテンプレート:Mvar は位数 5 の元を少なくとも 24 (= 4 · 6) 個持つ。しかしテンプレート:Mvar の位数は 30 しかないので、矛盾が生じた。よって位数 30 の単純群は存在しない。

次に |テンプレート:Mvar| = 42 = 2 · 3 · 7 の場合を考える。テンプレート:Mvar₇ は 6 を割り切り、テンプレート:Mvar₇ ≡ 1 (mod 7) であるため、テンプレート:Mvar₇ = 1 である。よってシロー7-部分群はテンプレート:Mvar の正規部分群であり、テンプレート:Mvar は単純群ではない。

一方で、|テンプレート:Mvar| = 60 = 2² · 3 · 5 の場合は、テンプレート:Mvar₃ = 10 とテンプレート:Mvar₅ = 6 となることがあり得る。実際に、巡回群でない最小の単純群は5個の元の交代群 A₅である。位数は60であり、位数5の巡回置換を24個、位数3の巡回置換を20個持つ。

脚注

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参考文献

テンプレート:Citation

証明

アルゴリズム

外部リンク

↑ テンプレート:Harvtxt

[1] テンプレート:Harvtxt

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