コーシーの定理 (群論)

テンプレート:Groups 群論において、コーシーの定理（コーシーのていり; テンプレート:Lang-en-short）とは次のような定理である。

概論

ラグランジュの定理によれば、部分群 テンプレート:Mvar の位数 テンプレート:Math は必ず元の群 テンプレート:Mvar の位数 テンプレート:Math を割り切る。

$|H|||G|$.

すると、素数位数の群は自明な部分群 テンプレート:Math, テンプレート:Mvar 以外の部分群を持たないことになるが、群の基本的性質から、これは素数位数の群が必ず単独の生成元 テンプレート:Mvar で生成される巡回群 テンプレート:Math であることを意味する。

このことから、群の位数の素因数分解と、部分群に素数位数の巡回群が存在することの関連が容易に予想されるが、これを1845年に示したのがコーシーの定理である。

コーシーの定理が最初に示されてから27年後の1872年に、これを素数 テンプレート:Mvar のテンプレート:読み仮名 テンプレート:Math に拡張したシローの定理が証明された。

証明

証明 テンプレート:Harv: 群 テンプレート:Mvar の位数は素数 テンプレート:Mvar で割り切れるとする。集合 テンプレート:Mvar を次で定める。

$S:=\{(x_1,...,x_p)\in G^p\mid x_1...x_p=e\}.$

このとき、テンプレート:Math が テンプレート:Mvar に属すならば、テンプレート:Math テンプレート:Math も テンプレート:Mvar に属す。写像 テンプレート:Math を、$f(x_1,...,x_p)=(x_2,x_3,...,x_p,x_1)$ で定める。テンプレート:Mvar は全単射となる。よって、テンプレート:Mvar は対称群 テンプレート:Math の元であり、互いに素な巡回置換の積で表すことができる。テンプレート:Mvar 個の テンプレート:Mvar を合成してできる写像 テンプレート:Mvar は恒等写像であり、テンプレート:Math の単位元であるので、テンプレート:Mvar の表現における各巡回置換の長さは テンプレート:Math あるいは テンプレート:Mvar である。さらに、テンプレート:Mvar の表現における長さ 1 の巡回置換の個数を テンプレート:Mvar、長さ テンプレート:Mvar の巡回置換の個数をテンプレート:Mvarとすると、$|S|=s+pt$ である。なお、テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar の不動点の個数でもある。$|S|=|G{|}^{p-1}$であるから、テンプレート:Math は テンプレート:Mvar で割り切れる。ゆえに、テンプレート:Mvar も テンプレート:Mvar で割り切れる。そして、テンプレート:Math は テンプレート:Mvar に属し、$f(e,...,e)=(e,...,e)$ なので、テンプレート:Math であり、テンプレート:Math より テンプレート:Math である。ゆえに テンプレート:Mvar は テンプレート:Math 以外にも不動点を持つ。テンプレート:Mvar の定義より テンプレート:Mvar の不動点は $(a,...,a)(a\in G)$ という形で表せる。テンプレート:Mvar の テンプレート:Math 以外の不動点の1つ テンプレート:Math をとる。テンプレート:Math であり、テンプレート:Mvar の定義より テンプレート:Math となる。Q.E.D.

参考文献

• テンプレート:Citation
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関連項目

• 巡回群
• シローの定理
• ラグランジュの定理 (群論)

外部リンク

• テンプレート:YouTube - テンプレート:Harvの解説。