ボゴモロフ予想のソースを表示

数学において、{{仮リンク|フョードル・ボゴモロフ|en|Fedor Bogomolov}}(Fedor Bogomolov)に因んで名前の付いた'''ボゴモロフ予想'''(Bogomolov conjecture)とは、次の予想を言う。

''C'' を[[代数体]] ''K'' 上定義された[[種数]] ''g'' が 2 以上の[[代数曲線]]とし、<math>\overline K</math> を K の[[代数的閉体]]とし、''C'' のその[[ヤコビ多様体]] ''J'' への埋め込みを固定し、<math>\hat h</math> で[[豊富なラインバンドル|豊富な対称的因子]]に付随した ''J'' 上の[[ネロン・テイトの高さ]]を表す。すると、ある <math>\epsilon > 0</math> が存在し、
: 集合 <math>\{ P \in C(\overline{K}) : \hat{h}(P) < \epsilon\}</math>  &nbsp; が有限
となる。<math>\hat h(P)=0</math> と P が[[捩れ (代数)#アーベル多様体|捩れ点]]であることは同値であるから、ボゴモロフ予想は[[アーベル多様体の数論#マーニン・マンフォード予想|マーニン・マンフォード予想]]を一般化した予想となる。元々のボゴモロフ予想は、{{仮リンク|エマニュエル・ウルモ|en|Emmanuel Ullmo}}(Emmanuel Ullmo)と{{仮リンク|张寿武|en|Shou-Wu Zhang}}(Shou-Wu Zhang)により、1998年に証明された。<ref>{{Citation |last=Ullmo |first=E. |title={{lang|fr|Positivité et Discrétion des Points Algébriques des Courbes}} |journal=[[Annals of Mathematics]] |volume=147 |issue=1 |year=1998 |pages=167–179 |doi=10.2307/120987 | zbl=0934.14013 }}.</ref>
Zhang<ref>{{Citation |last=Zhang|first=S.-W. |title={{lang|en|Equidistribution of small points on abelian varieties}} |journal=[[Annals of Mathematics]] |volume=147 |issue=1 |year=1998 |pages=159–165 |doi=10.2307/120986}}</ref> は、次の一般化された定理を証明した。

''A'' を ''K'' 上に定義された[[アーベル多様体]]とし、<math>\hat h</math> を豊富な対称的因子に付随する ''A'' 上のネロン・テイトの高さとする。[[部分多様体]] <math>X\subset A</math> が'''捩れ部分多様体'''(torsion subvariety)であるとは、その部分多様体が捩れ点によりアーベル多様体 ''A'' のアーベル部分多様体の変換である場合を言う。''X'' が捩れ部分多様体ではない場合は、ある <math>\epsilon > 0</math> が存在し、
:集合 <math>\{ P \in X(\overline{K}) : \hat{h}(P) < \epsilon\}</math>  &nbsp; は ''A'' において{{仮リンク|ザリスキー稠密|en|Zariski dense}}(Zariski dense)ではない。
<!--In [[mathematics]], the '''Bogomolov conjecture''', named for [[Fedor Bogomolov]], is the following statement:

Let ''C'' be an [[algebraic curve]] of [[genus (curve)|genus]] ''g'' at least two defined over a [[number field]] ''K'', let <math>\overline K</math> denote the [[algebraic closure]] of ''K'', fix an embedding of ''C'' into its [[Jacobian variety]] ''J'', and let <math>\hat h</math> denote the [[Néron-Tate height]] on ''J'' associated to an [[Ample divisor|ample symmetric divisor]]. Then there exists an <math>\epsilon > 0</math> such that the set

: <math>\{ P \in C(\overline{K}) : \hat{h}(P) < \epsilon\}</math>  &nbsp; is finite.

Since <math>\hat h(P)=0</math> if and only if ''P'' is a [[torsion point]], the Bogomolov conjecture generalises the [[Manin-Mumford conjecture]]. The original Bogomolov conjecture was proved by [[Emmanuel Ullmo]] and [[Shou-Wu Zhang]] in 1998.<ref>{{Citation |last=Ullmo |first=E. |title={{lang|fr|Positivité et Discrétion des Points Algébriques des Courbes}} |journal=[[Annals of Mathematics]] |volume=147 |issue=1 |year=1998 |pages=167–179 |doi=10.2307/120987 | zbl=0934.14013 }}.</ref>
Zhang<ref>{{Citation |last=Zhang|first=S.-W. |title={{lang|en|Equidistribution of small points on abelian varieties}} |journal=[[Annals of Mathematics]] |volume=147 |issue=1 |year=1998 |pages=159–165 |doi=10.2307/120986}}</ref> proved the following generalization:

Let ''A'' be an [[abelian variety]] defined over ''K'', and let <math>\hat h</math> be the Néron-Tate height on ''A'' associated to an ample symmetric divisor. A [[subvariety]] <math>X\subset A</math> is called a ''torsion subvariety'' if it is the translate of an abelian subvariety of ''A'' by a torsion point. If ''X'' is not a torsion subvariety, then there is an <math>\epsilon > 0</math> such that the set

: <math>\{ P \in X(\overline{K}) : \hat{h}(P) < \epsilon\}</math>  &nbsp; is not [[Zariski dense]] in ''A''.-->

==参考文献==
{{Reflist}}
* {{cite book | author1-last=Chambert-Loir | author1-first=Antoine | chapter=Diophantine geometry and analytic spaces | pages=161-179 | editor1-last=Amini | editor1-first=Omid | editor2-last=Baker | editor2-first=Matthew | editor3-last=Faber | editor3-first=Xander | title=Tropical and non-Archimedean geometry. Bellairs workshop in number theory, tropical and non-Archimedean geometry, Bellairs Research Institute, Holetown, Barbados, USA, May 6–13, 2011 | zbl=1281.14002 | series=Contemporary Mathematics | volume=605 | <!--subseries=Centre de Recherches Mathématiques Proceedings--> | location=Providence, RI | publisher=[[American Mathematical Society]] | isbn=978-1-4704-1021-6 | year=2013 }}

==関連書籍==
* [http://modular.math.washington.edu/home/wstein/www/home/bober/swc/www/aws/1999/99Tzermias.pdf The Manin-Mumford conjecture: a brief survey, by Pavlos Tzermias]

{{Algebraic-geometry-stub}}
{{DEFAULTSORT:ほこもろふよそう}}
[[Category:アーベル多様体]]
[[Category:ディオファントス幾何学]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:証明された予想]]