ボゴモロフ予想

数学において、テンプレート:仮リンク(Fedor Bogomolov)に因んで名前の付いたボゴモロフ予想(Bogomolov conjecture)とは、次の予想を言う。

C を代数体 K 上定義された種数 g が 2 以上の代数曲線とし、$\bar{K}$ を K の代数的閉体とし、C のそのヤコビ多様体 J への埋め込みを固定し、$\hat{h}$ で豊富な対称的因子に付随した J 上のネロン・テイトの高さを表す。すると、ある $ϵ>0$ が存在し、

集合 $\{P\in C(\bar{K}):\hat{h}(P)<ϵ\}$   が有限

となる。$\hat{h}(P)=0$ と P が捩れ点であることは同値であるから、ボゴモロフ予想はマーニン・マンフォード予想を一般化した予想となる。元々のボゴモロフ予想は、テンプレート:仮リンク(Emmanuel Ullmo)とテンプレート:仮リンク(Shou-Wu Zhang)により、1998年に証明された。 Zhang は、次の一般化された定理を証明した。

A を K 上に定義されたアーベル多様体とし、$\hat{h}$ を豊富な対称的因子に付随する A 上のネロン・テイトの高さとする。部分多様体 $X\subset A$ が捩れ部分多様体(torsion subvariety)であるとは、その部分多様体が捩れ点によりアーベル多様体 A のアーベル部分多様体の変換である場合を言う。X が捩れ部分多様体ではない場合は、ある $ϵ>0$ が存在し、

集合 $\{P\in X(\bar{K}):\hat{h}(P)<ϵ\}$   は A においてテンプレート:仮リンク(Zariski dense)ではない。

参考文献

• テンプレート:Cite book

関連書籍

• The Manin-Mumford conjecture: a brief survey, by Pavlos Tzermias