ボッチャーの方程式のソースを表示

[[数学]]において{{仮リンク|ルシアン・ボッチャー|en|Lucjan Böttcher}}の名にちなむ'''ボッチャーの方程式'''（ボッチャーのほうていしき、{{Lang-en-short|Böttcher's equation}}）とは、次の[[函数方程式]]のことを言う。

::<math>F(h(z)) = (F(z))^n  ~.</math>

但し、
* {{mvar|h}} は、{{mvar|a}} において位数 ''n''&nbsp;≥&nbsp;2 の超吸引的な[[不動点]]を持つ[[解析函数]]（すなわち、{{mvar|a}} の近傍において <math> h(z)=a+c(z-a)^n+O((z-a)^{n+1})</math> ）； 
* {{math|''F''}} は求める函数。
この函数方程式の対数は、[[シュレーダーの方程式]]に等しい。

== 解 ==

{{仮リンク|ルシアン・ボッチャー|en|Lucjan Böttcher}}は1904年、''F''(''a'')&nbsp;=&nbsp;0 であるような不動点 ''a'' のある近傍における解析解 ''F'' の存在を示した<ref>{{cite journal |last=Böttcher |first=L. E. |year=1904 |title=The principal laws of convergence of iterates and their application to analysis (in Russian)|journal=Izv. Kazan. Fiz.-Mat. Obshch. |volume=14 |issue= |pages=155&ndash;234}}</ref>。この解はしばしば、ボッチャー座標（Böttcher coordinate）と呼ばれる（完全な証明は1920年、{{仮リンク|ジョセフ・リット|en|Joseph Ritt}}によって与えられた<ref>{{cite journal|journal=Trans. Amer. Math. Soc|first=Joseph|last=Ritt|authorlink=:en:Joseph Ritt|title=On the iteration of rational functions|volume=21|pages=348–356|issue=3|doi=10.1090/S0002-9947-1920-1501149-6|year=1920}}</ref>。しかし彼は、元の公式については気付いていなかった<ref name=stawiska13>{{cite arXiv |last=Stawiska|first= Małgorzata|eprint=1307.7778 |title=Lucjan Emil Böttcher (1872–1937)  - The Polish Pioneer of Holomorphic Dynamics|class= math.HO|date=November 15, 2013 |page=9}}</ref>）。

ボッチャー座標（[[シュレーダーの方程式|シュレーダー函数]]の対数）は、函数 {{math|''z''<sup>''n''</sup>}} の不動点のある近傍において {{mvar|''h(z)''}} と共役になる。特に重要なケースは {{math|''h(z)''}} が次数 {{mvar|n}} の多項式で、{{mvar|a}} = ∞ である場合である<ref>{{cite journal|last1=Cowen|first1=Carl C.|title=Analytic solutions of Böttcher's functional equation in the unit disk|journal=Aequationes Mathematicae|volume=24|issue=1|year=1982|pages=187–194|issn=0001-9054|doi=10.1007/BF02193043}}</ref>。

== 応用 ==
ボッチャーの方程式は、一変数の複素[[多項式]]の[[反復]]を研究する[[複素力学系|正則力学系]]の一分野において本質的な役割を果たす。

ボッチャー座標の大域的な性質については、[[ピエール・ファトゥ]]<ref>{{cite journal|last=Fatou|first=P.|author-link=:en:Pierre Fatou|title=Sur les équations fonctionnelles, I|journal=Bulletin de la Société Mathématique de France|volume=47|year=1919|pages=161&ndash;271|jfm=47.0921.02|url= http://www.numdam.org/item?id=BSMF_1919__47__161_0}}; {{cite journal|last=Fatou|first=P.|author-link=:en:Pierre Fatou|title=Sur les équations fonctionnelles, II|journal=Bulletin de la Société Mathématique de France|volume=48|year=1920|pages=33&ndash;94|jfm=47.0921.02|url=http://www.numdam.org/item?id=BSMF_1920__48__33_0}}; {{cite journal|last=Fatou|first=P.|author-link=:en:Pierre Fatou|title=Sur les équations fonctionnelles, III|journal=Bulletin de la Société Mathématique de France|volume=48|year=1920|pages=208&ndash;314|jfm=47.0921.02|url=http://www.numdam.org/item?id=BSMF_1920__48__208_1}}</ref>と{{仮リンク|エイドリアン・ドゥアディ|en|Adrian Douady}}および{{仮リンク|ジョン・ハバード|en|John H. Hubbard}}によって研究された<ref>{{cite journal|last1=Douady|first2=J.|last2= Hubbard|title=Étude dynamique de polynômes complexes (première partie)|journal=Publ. Math. Orsay|url=http://portail.mathdoc.fr/PMO/afficher_notice.php?id=PMO_1984_A1|year=1984|first=A.}}; {{cite journal|last1=Douady|first2=J.|last2=Hubbard|title=Étude dynamique des polynômes convexes (deuxième partie)|journal=Publ. Math. Orsay
|url=http://portail.mathdoc.fr/PMO/afficher_notice.php?id=PMO_1985_A3|year=1985|first=A.}}</ref>。

== 関連項目 ==
* [[シュレーダーの方程式]]
* {{仮リンク|外射線|en|External ray}}

== 参考文献 ==
<references />
 
{{DEFAULTSORT:ほつちやあのほうていしき}}
[[Category:関数方程式]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:人名を冠した数式]]