ボッテマの定理のソースを表示

{{暫定記事名|date=2024年6月}}[[ファイル:Bottema's_theorem.png|右|サムネイル|350x350ピクセル| <math display="inline">C</math> の位置が変化すると<math display="inline">E</math>,<math display="inline">F</math>の位置は変わるが,その[[中点]]<math display="inline">M</math>の位置は変わらない。]]
[[ユークリッド幾何学]]において、'''ボッテマの定理'''（ぼってまのていり、{{Lang-en|Bottema's theorem}}）とはオランダの数学者{{仮リンク|オーネ・ボッテマ|nl|Oene Bottema|de|Oene Bottema}}（[[フローニンゲン]], 1901–1992）にちなんで名づけられた定理である<ref name="Bottema">{{Cite book |last=Koetsier |first=T. |title=Distinguished Figures in Mechanism and Machine Science. |publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer]] |year=2007 |isbn=978-1-4020-6365-7 |editor-last=Ceccarelli |editor-first=M. |series=History of Mechanism and Machine Science |volume=1 |location=Dordrecht |pages=61–68 |chapter=Oene Bottema (1901–1992) |doi=10.1007/978-1-4020-6366-4_3}}</ref>。

[[三角形]] <math display="inline">ABC</math>についてそれぞれ<math display="inline">AC</math> ,<math display="inline">BC</math>を一辺とする[[正方形]]を外側に描く。このときそれぞれの正方形の、''<math display="inline">C</math>''と反対の点を結んだ[[線分]]の[[中点]]<math display="inline">M</math>は<math display="inline">C</math>の位置に依らない<ref>{{Citation|title=Back to Treasure Island|last=Shriki|first=A.|year=2011|journal=[[National Council of Teachers of Mathematics#Journals|The Mathematics Teacher]]|volume=104|issue=9|pages=658–664|language=en|jstor=20876991}}.</ref>。

また<math display="inline">M</math>は、辺<math display="inline">AB</math>の中点を<math display="inline">S
</math>とし<math display="inline">AS=BS=MS</math>を満たす三角形の内側の点、つまり<math display="inline">\angle MAB=\angle MBA= -\frac{\pi}{4}</math>を満たす点となる。

ボッテマの定理は内側に[[正方形]]を描いたときも同様に成り立つことが知られており、このとき<math display="inline">M</math>は<math display="inline">AS=BS=MS</math>を満たす三角形の外側の点、つまり<math display="inline">\angle MAB=\angle MBA= \frac{\pi}{4}</math>を満たす点となる。

更に、ボッテマの定理は任意の[[正多角形]]に一般化できる <ref>{{Citation|title=Two Regular Polygons with a Shared Vertex|last=Meskhishvili|first=M.|year=2022|url=https://www.rgnpublications.com/journals/index.php/cma/article/view/1944/1406|journal=Communications in Mathematics and Applications|volume=13|issue=2|pages=435–447}}</ref><ref>{{Cite journal|author=Nguyen Ngoc Giang|year=2018|title=A New Proof and Some Generalizations of the  Bottema Theorem|url=https://www.journal-1.eu/2018/Nguyen-Ngoc-Giang-Bottema-Theorem.pdf|journal=International Journal of Computer Discovered Mathematics (IJCDM)|volume=Volume 3|pages=49-54}}</ref><ref>{{Cite journal|author=Eger, Hungary|year=2004|title=GENERALIZATIONS OF BOTTEMA’S THEOREM  ON PEDAL POINTS|url=https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/EMIS/journals/AMI/2004/acta2004-sashalmi-hoffmann.pdf|journal=Acta Academiae Paedagogicae Agriensis, Sectio Mathematicae|volume=31|pages=2-5-31}}</ref>。

三角形 <math display="inline">ABC</math> に、それぞれ辺<math display="inline">AC</math>,<math display="inline">BC</math>を一辺とする正多角形を外側あるいは内側に描く。また正多角形の[[外接円]]上の頂点<math display="inline">C</math>の対蹠点をそれぞれ<math>D_1</math>,<math>D_2</math>とする。この時、<math>D_1D_2</math> の中点は <math display="inline">C</math>の位置に依らない。

幾何学においては[[カルノーの定理 (垂線)]]をボッテマの定理という場合もある<ref>{{Cite journal|author=Zvonko Cerin|year=2009|title=Rings of Squares Around Orthologic Triangles|url=https://forumgeom.fau.edu/FG2009volume9/FG200906.pdf|journal=[[Forum Geometricorum]]|volume=Volume 9|pages=57-80}}</ref>。

== 関連 ==

* [[ヴァン・オーベルの定理]]
* [[ナポレオンの定理]]
* [[キーペルト双曲線]]

== 参考文献 ==
<references responsive="1"></references>
{{Reflist}}

== 外部リンク ==

* [https://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/Bottema.shtml Bottema's Theorem: What Is It?]
* [https://demonstrations.wolfram.com/BottemasTheorem/ Wolfram Demonstrations Project – Bottema's Theorem]
* [https://www.geogebra.org/classic/bteup6qh.shtml GeoGebra Demonstrations Project - A Generalized Theorem - Equilateral Triangles]
* [https://www.geogebra.org/classic/bnwynrkx GeoGebra Demonstrations Project - A Generalized Theorem - Regular Pentagons]
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[[Category:三角形に関する定理]]
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