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[[数学]]における'''ボホナー積分'''（ボホナーせきぶん、{{lang-en-short|''Bochner integral''}}）は、[[サロモン・ボホナー]]に名を因む、（[[単函数]]の積分の極限としての）[[ルベーグ積分]]の[[バナッハ空間]]に値をとる函数への拡張である。 == 定義 == (''X'', Σ, μ) を測度空間、''B'' をバナッハ空間とする。ボホナー積分はルベーグ積分とほとんど同じ方法で定義される。''X'' 上の ''B''-値単函数 ''s'' は、完全加法族 Σ の互いに交わらない元の族 ''E''<sub>''i''</sub> と ''B'' の相異なる元 ''b''<sub>''i''</sub> を使って :<math>s(x) = \sum_{i=1}^n \chi_{E_i}(x) b_i</math> なる形の和に表される。ただし、χ<sub>''E''</sub> は集合 ''E'' の[[指示函数]]である。単函数 ''s'' をこの形に書くとき, ''b''<sub>''i''</sub> が 0 でないような ''i'' では必ず μ(''E''<sub>''i''</sub>) が有限値となるならば、この単函数 ''s'' は'''可積分'''であるといい、その積分を :<math>\int_X \left[\sum_{i=1}^n \chi_{E_i}(x) b_i\right]\, d\mu = \sum_{i=1}^n \mu(E_i) b_i</math> で定義することは通常のルベーグ積分と全く同じである。 可測函数 ƒ: ''X'' → ''B'' が'''ボホナー可積分'''であるとは、可積分な単函数列 ''s''<sub>''n''</sub> で :<math>\lim_{n\to\infty}\int_X \|f-s_n\|_B d\mu = 0</math> を満たすようなものが存在するときに言う。ここで左辺の積分は通常のルベーグ積分である。 このとき、'''ボホナー積分'''は :<math>\int_X f\, d\mu = \lim_{n\to\infty}\int_X s_n\, d\mu</math> と定義される。可測函数がボホナー可積分であるための必要十分条件は、それが[[ボホナー空間]] ''L''<sup>1</sup> に属することである。 == 性質 == ルベーグ積分についてよく知られた性質の多くは、ボホナー積分に対しても引き続き成立する。おそらく最も著しい例はボホナーの可積分判定条件で、これは (''X'', Σ, μ) が有限測度空間ならばボホナー可測函数 ƒ: ''X'' → ''B'' がボホナー可積分であるための必要十分条件が :<math>\int_X \|f\|_B\, d\mu < \infty</math> であることを述べるものである。ただし、函数 ƒ: ''X'' → ''B'' がボホナー可測であるとは、''B'' の可分部分空間 ''B''<sub>0</sub> に値をとる函数 ''g'' で、''B'' の任意の開集合 ''U'' の逆像 ''g''<sup>−1</sup>(''U'') が Σ に属するようなものを用いて、μ に関してほとんど至る所 ''f'' = ''g'' となるときにいう。つまり、ボホナー可測函数 ƒ は μ に関して殆ど至る所単函数列の極限になっている。 ボホナー積分に対しても[[優収斂定理]]の一種が成り立つ。具体的には、ƒ<sub>''n''</sub>: ''X'' → ''B'' が完備測度空間上の可測函数列でほとんど至る所 ƒ に収斂し、ほとんど全ての ''x'' ∈ ''X'' で ‖''f''<sub>''n''</sub>(''x'')‖<sub>''B''</sub> ≤ ''g''(''x'') を満たす ''g'' ∈ [[ルベーグ空間|''L''<sup>1</sup>(μ)]]が存在するならば、''n'' → ∞ とする極限で :<math>\int_X \|f-f_n\|_B\,d\mu \to 0</math> および、任意の ''E'' ∈ Σ に対して :<math>\int_E f_n\,d\mu \to \int_E f\,d\mu</math> が成立する。 ƒ がボホナー可積分ならば不等式 :<math>\left\|\int_Ef\,d\mu\right\|_B \le \int_E \|f\|_B\,d\mu</math> が任意の ''E'' ∈ Σ に対して成立する。特に集合函数 :<math>E\mapsto \int_E f\, d\mu</math> は μ に関して[[絶対連続]]な ''X'' 上の可算加法的 ''B''-値[[ベクトル測度]]を定める。 == ラドン–ニコディム性 == ボホナー積分に関して[[ラドン–ニコディムの定理]]が一般には成立し'''ない'''という重要な事実がある。これはバナッハ空間のラドン–ニコディム性として知られる重要な性質である。具体的に、{{mvar|μ}} を可測空間 {{math|(''X'', Σ)}} 上の測度とすると、{{mvar|B}} が {{mvar|μ}} に関するラドン–ニコディム性を持つとは、{{math|(''X'', Σ)}} 上の {{mvar|B}} に値をとる任意の[[有界変動測度|有界変動]]かつ {{mvar|μ}}-[[絶対連続]]な可算加法的[[ベクトル測度]] {{mvar|γ}} に対して、{{mvar|μ}}-可積分函数 {{math|''g'': ''X'' → ''B''}} で <math style="display: block; margin: 1ex auto 1ex 2em;">\gamma(E) = \int_E g\, d\mu </math> を任意の可測集合 {{math|''E'' ∈ Σ}} に対して満たすものが存在することをいう<ref>[http://www.emis.de/journals/DM/vXI1/art5.pdf The Radon-Nikodym Theorem for Reflexive Banach Spaces], Diómedes Bárcenas, Divulgaciones Matemáticas Vol. 11 No. 1(2003), (pp. 55–59), pp. 55-56</ref>。 バナッハ空間 {{mvar|B}} が'''ラドン–ニコディム性を持つ'''とは、{{mvar|B}} が任意の有限測度に関してラドン–ニコディム性を持つときに言う。[[数列空間|{{math|''l''<sub>1</sub>}}]] はラドン–ニコディム性を持ち、[[収束数列空間|{{math|''c''<sub>0</sub>}}]] や {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} の有界開領域 {{math|Ω}} に対する {{math|''L''<sup>∞</sup>(Ω)}}, {{math|''L''<sup>1</sup>(Ω)}} および {{math|''C''(Ω)}} はラドン＝ニコディム性を持たないことが知られている。ラドン–ニコディム性を持つ空間には、可分な双対空間（[[ダンフォード–ペティスの定理]]）や[[回帰的空間|回帰的バナッハ空間]]（特に[[ヒルベルト空間]]）などがある。 == 関連項目 == * [[ボホナー空間]] * [[ペティス積分]] * [[ベクトル測度]] == 脚注 == {{reflist}} == 参考文献 == * {{citation|last=Bochner|first=Salomon|authorlink=サロモン・ボホナー| url=http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm20/fm20127.pdf|title=Integration von Funktionen, deren Werte die Elemente eines Vectorraumes sind|journal=[[Fundamenta Mathematicae]]|volume=20|year=1933|pages=262–276}} *{{citation|first=Joseph|last=Diestel|title=Sequences and series in Banach spaces. Graduate Texts in Mathematics|publisher=Springer-Verlag|year=1984|isbn=0-387-90859-5}} *{{Citation | last1=Diestel | first1=J. | last2=Uhl | first2=J. J. | title=Vector measures | publisher=[[American Mathematical Society]] | location=Providence, R.I. | isbn=978-0-8218-1515-1 | year=1977}} *{{Citation | last1 = Hille | first1 = Einar | first2 = Ralph S. | last2 = Phillips | title = Functional Analysis and Semi-Groups | publisher = [[American Mathematical Society]] | year= 1957 | isbn = 0-8218-1031-6 }} * {{citation|last=Lang|first=Serge|authorlink=Serge Lang|title=Real analysis|year=1969|publisher=Addison-wesley|isbn=0-201-04172-3}} (now published by springer Verlag) * {{SpringerEOM|title=Bochner integral|last=Sobolev|first=V. I.|urlname=Bochner_integral}} * {{SpringerEOM|title=Vector measures|last=van Dulst|first=D.|urlname=Vector_measure}} {{integral}}{{Functional Analysis}} {{DEFAULTSORT:ほほなあせきふん}} [[Category:積分法]] [[Category:位相線型空間論]] [[Category:積分表現]] [[Category:数学に関する記事]] [[Category:数学のエポニム]]
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