ボホナー積分

数学におけるボホナー積分（ボホナーせきぶん、テンプレート:Lang-en-short）は、サロモン・ボホナーに名を因む、（単函数の積分の極限としての）ルベーグ積分のバナッハ空間に値をとる函数への拡張である。

定義

(X, Σ, μ) を測度空間、B をバナッハ空間とする。ボホナー積分はルベーグ積分とほとんど同じ方法で定義される。X 上の B-値単函数 s は、完全加法族 Σ の互いに交わらない元の族 E_i と B の相異なる元 b_i を使って

$s(x)=\sum _{i=1}^n{\chi }_{E_i}(x)b_i$

なる形の和に表される。ただし、χ_E は集合 E の指示函数である。単函数 s をこの形に書くとき, b_i が 0 でないような i では必ず μ(E_i) が有限値となるならば、この単函数 s は可積分であるといい、その積分を

$\underset{X}{\int }[\sum _{i=1}^n{\chi }_{E_i}(x)b_i]d\mu =\sum _{i=1}^n\mu (E_i)b_i$

で定義することは通常のルベーグ積分と全く同じである。

可測函数 ƒ: X → B がボホナー可積分であるとは、可積分な単函数列 s_n で

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{X}{\int }\Vert f-s_n{\Vert }_{B}d\mu =0$

を満たすようなものが存在するときに言う。ここで左辺の積分は通常のルベーグ積分である。

このとき、ボホナー積分は

$\underset{X}{\int }fd\mu =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{X}{\int }{s}_{n}d\mu$

と定義される。可測函数がボホナー可積分であるための必要十分条件は、それがボホナー空間 L¹ に属することである。

性質

ルベーグ積分についてよく知られた性質の多くは、ボホナー積分に対しても引き続き成立する。おそらく最も著しい例はボホナーの可積分判定条件で、これは (X, Σ, μ) が有限測度空間ならばボホナー可測函数 ƒ: X → B がボホナー可積分であるための必要十分条件が

$\underset{X}{\int }\Vert f{\Vert }_{B}d\mu <\mathrm{\infty }$

であることを述べるものである。ただし、函数 ƒ: X → B がボホナー可測であるとは、B の可分部分空間 B₀ に値をとる函数 g で、B の任意の開集合 U の逆像 g⁻¹(U) が Σ に属するようなものを用いて、μ に関してほとんど至る所 f = g となるときにいう。つまり、ボホナー可測函数 ƒ は μ に関して殆ど至る所単函数列の極限になっている。

ボホナー積分に対しても優収斂定理の一種が成り立つ。具体的には、ƒ_n: X → B が完備測度空間上の可測函数列でほとんど至る所 ƒ に収斂し、ほとんど全ての x ∈ X で ‖f_n(x)‖_B ≤ g(x) を満たす g ∈ L¹(μ)が存在するならば、n → ∞ とする極限で

$\underset{X}{\int }\Vert f-f_n{\Vert }_{B}d\mu \to 0$

および、任意の E ∈ Σ に対して

$\underset{E}{\int }{f}_{n}d\mu \to \underset{E}{\int }fd\mu$

が成立する。

ƒ がボホナー可積分ならば不等式

${\Vert \underset{E}{\int }fd\mu \Vert }_B\le \underset{E}{\int }\Vert f{\Vert }_{B}d\mu$

が任意の E ∈ Σ に対して成立する。特に集合函数

$E\mapsto \underset{E}{\int }fd\mu$

は μ に関して絶対連続な X 上の可算加法的 B-値ベクトル測度を定める。

ラドン–ニコディム性

ボホナー積分に関してラドン–ニコディムの定理が一般には成立しないという重要な事実がある。これはバナッハ空間のラドン–ニコディム性として知られる重要な性質である。具体的に、テンプレート:Mvar を可測空間 テンプレート:Math 上の測度とすると、テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar に関するラドン–ニコディム性を持つとは、テンプレート:Math 上の テンプレート:Mvar に値をとる任意の有界変動かつ テンプレート:Mvar-絶対連続な可算加法的ベクトル測度 テンプレート:Mvar に対して、テンプレート:Mvar-可積分函数 テンプレート:Math で $\gamma (E)=\underset{E}{\int }gd\mu$ を任意の可測集合 テンプレート:Math に対して満たすものが存在することをいう。

バナッハ空間 テンプレート:Mvar がラドン–ニコディム性を持つとは、テンプレート:Mvar が任意の有限測度に関してラドン–ニコディム性を持つときに言う。[[数列空間|テンプレート:Math]] はラドン–ニコディム性を持ち、[[収束数列空間|テンプレート:Math]] や テンプレート:Math の有界開領域 テンプレート:Math に対する テンプレート:Math, テンプレート:Math および テンプレート:Math はラドン＝ニコディム性を持たないことが知られている。ラドン–ニコディム性を持つ空間には、可分な双対空間（ダンフォード–ペティスの定理）や回帰的バナッハ空間（特にヒルベルト空間）などがある。

関連項目

• ボホナー空間
• ペティス積分
• ベクトル測度

参考文献

• テンプレート:Citation
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• テンプレート:SpringerEOM
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