ボルンの式のソースを表示

'''ボルンの式'''（ボルンのしき、{{lang-en-short|The Born Equation}}）は、[[イオン (化学)|イオン]]の[[溶媒和]]の{{仮リンク|ギブズ自由エネルギー|en|Gibbs free energy|preserve=1}}の[[クーロンの法則|静電]]成分を示す式である。

ボルンの式は、[[溶媒]]を連続した誘電媒体と扱う（連続体溶媒和法と呼ばれる方法の1つ）。

[[マックス・ボルン]]が考案した<ref>{{Cite journal|last=Born|first=M.|date=1920-02-01|title=Volumen und Hydratationswärme der Ionen|url=https://doi.org/10.1007/BF01881023|journal=Zeitschrift für Physik|volume=1|issue=1|pages=45–48|language=de|doi=10.1007/BF01881023|issn=0044-3328}}</ref><ref>{{cite book|title=Physical Chemistry|last1=Atkins|last2=De Paula|year=2006|publisher=Oxford university press|isbn=0-7167-8759-8|page=[https://archive.org/details/atkinsphysicalch00pwat/page/102 102]|edition=8th|url-access=registration|url=https://archive.org/details/atkinsphysicalch00pwat/page/102}}</ref>。

== 式 ==
:<math>\Delta G =- \frac{N_A z^2 e^2}{8 \pi \varepsilon_0 r_0}\left(1-\frac{1}{\varepsilon_r}\right)</math>
ここで
*''N''<sub>A</sub> = [[アボガドロ数]]
*''z'' = イオンの電荷
*''e'' = [[電気素量|素電荷]], 1.6022{{e|&minus;19}} [[クーロン|C]]
*''&epsilon;''<sub>0</sub> = [[真空の誘電率]]
*''r''<sub>0</sub> = 実効的なイオン半径
*''&epsilon;''<sub>r</sub> = 溶媒の[[比誘電率]]

== 導出 ==
静電界分布に蓄えられるエネルギーUは次のように表される。<math display="block">U=\frac{1}{2} \varepsilon_0 \varepsilon_r \int |{\bf{E}}|^2 dV</math>

比誘電率''&epsilon;''<sub>r</sub>の媒体中のイオンの電場の大きさは <math>|{\bf{E}}|=\frac{z e}{4 \pi \varepsilon_0 \varepsilon_{r} r^2} </math>  であり、また体積要素 <math>dV</math> は<math>dV=4\pi r^2 dr </math>, であらわされるため、エネルギー<math>U</math> は次のように表される：<math display="block">U=\frac{1}{2} \varepsilon_0 \varepsilon_r \int_{r_0}^\infty (\frac{z e}{4 \pi \varepsilon_0 \varepsilon_r r^2})^2 4\pi r^2 dr=\frac{z^2 e^2}{8\pi \varepsilon_0 \varepsilon_r r_0}</math>

したがって、イオンが真空(''&epsilon;''<sub>r</sub> =1)から誘電率''&epsilon;''<sub>r</sub> の媒質に溶解する際のエネルギーは次のようになる：<math display="block">\frac{\Delta G}{N_A} = U(\varepsilon_r )-U(\varepsilon_r=1)=- \frac{z^2 e^2}{8 \pi \varepsilon_0 r_0}\left(1-\frac{1}{\varepsilon_r}\right)</math>

ここでイオン半径r<sub>0</sub>結晶イオン半径r<sub>i</sub>を用いたものをボルン式と呼び、実際の溶媒和エネルギーに近づけるために溶媒のさやの厚みr<sub>s</sub>を加えた溶媒和イオン半径(r<sub>i</sub>+r<sub>s</sub>)を用いたものを改良ボルン式と呼ぶ。

アルカリ金属イオンに対する溶媒和イオン半径を表1に示す。この値は溶媒のルイス酸・塩基性（ドナー数）に依存し、ドナー数の大きいものがカチオンに対するr<sub>s</sub>が大きくなる。ドナー数は溶媒和における共有結合性に関連しており、溶媒和の連続体とみなせない部分の一部を補正する値とみなせる<ref>{{Cite journal|和書|author=松浦二郎, 佐々木幸夫 |title=非水溶媒中の電気化学 |journal=電気化学および工業物理化学 |ISSN=0366-9297 |publisher=電気化学会 |year=1976 |volume=44 |issue=1 |pages=9-16 |naid=130007727166 |doi=10.5796/kogyobutsurikagaku.44.9 |url=https://doi.org/10.5796/kogyobutsurikagaku.44.9}}</ref>。

{| class="wikitable"
|+ボルン式の溶媒和補正項 r<sub>s</sub>
!溶媒
!ドナー数
!r<sub>s</sub> / Å
!''&epsilon;''<sub>r</sub>
|-
|ベンゾニトリル
|11.9
|0.83
|25.2
|-
|アセトニトリル
|14.1
|0.82
|38.0
|-
|スルホラン
|14.8
|0.80
|43.0
|-
|プロピレンカーボネート
|15.1
|0.82
|65.1
|-
|プロピオニトリル
|16.1
|0.80
|26.1
|-
|エチレンカーボネート
|16.4
|0.86
|89.6 （40℃）
|-
|アセトン
|17.0
|0.74
|20.7
|-
|水
|18.0
|0.72
|78.5
|-
|ジメチルホルムアミド
|26.6
|0.69
|36.7
|-
|ジメチルスルホキシド
|29.8
|0.68
|46.4
|}

==脚注==
{{Reflist}}

== 関連項目 ==
* [[自由エネルギー関係]]

== 外部リンク ==
* [https://www.hindawi.com/journals/isrn/2012/204104/ aspects about this equation]

{{DEFAULTSORT:ほるんのしき}}
[[Category:イオン]]
[[Category:マックス・ボルン]]
[[Category:人名を冠した数式]]
[[Category:熱力学]]
[[Category:物理量]]