ボレル・ヴェイユの定理のソースを表示

[[数学]]の[[表現論]]の分野において、'''ボレル・ヴェイユの定理''' (Borel–Weil theorem) は、[[コンパクト群#コンパクトリー群|コンパクトリー群]]の[[既約表現]]と[[複素数|複素]][[半単純リー群]]の既約正則表現に対する具体的なモデルを与える。名称は[[アルマン・ボレル]] (Armand Borel) と[[アンドレ・ヴェイユ]] (André Weil) にちなむ。これらの表現はその群の[[旗多様体]]上の[[正則直線束]]の大域[[切断 (ファイバー束)|切断]]の空間において実現される。高次コホモロジー空間への一般化は{{仮リンク|ボレル・ヴェイユ・ボットの定理|en|Borel–Weil–Bott theorem}}と呼ばれる。

== 定理の主張 ==
定理は複素半単純リー群 {{mvar|G}} とその{{仮リンク|実形 (リー理論)|label=実形|en|Real form (Lie theory)}} {{mvar|K}} のいずれに対しても述べることができる。{{mvar|G}} を[[連結空間|連結]]複素半単純リー群とし、{{mvar|B}} を {{mvar|G}} の{{仮リンク|ボレル部分群|en|Borel subgroup}}とし、{{math|1=''X'' = ''G''/''B''}} を[[旗多様体]]とする。この設定において、{{mvar|X}} は[[複素多様体]]であり非特異代数 {{mvar|G}}&nbsp;多様体である。旗多様体はコンパクト[[等質空間]] {{math|''K''/''T''}} として記述することもできる、ここで {{math|1=''T'' = ''K'' &cap; ''B''}} は {{mvar|K}} の（コンパクト）{{仮リンク|カルタン部分群|en|Cartan subgroup}}である。[[ウェイト (表現論)#整ウェイト|整ウェイト]] {{mvar|λ}} は {{mvar|X}} 上の {{mvar|G}}&nbsp;同変な正則直線束 {{mvar|L<sub>λ</sub>}} を決定し、群 {{mvar|G}} はその大域切断の空間

:<math>\Gamma(G/B,L_\lambda)</math>

に作用する。

ボレル・ヴェイユの定理の主張は以下である：{{mvar|λ}} が'''優'''整ウェイトであるならば、この表現は {{mvar|G}} の最高ウェイト {{mvar|λ}} の'''正則'''既約[[最高ウェイト表現]]である。{{mvar|K}} へのその制限は {{mvar|K}} の最高ウェイト {{mvar|λ}} の[[既約ユニタリ表現]]であり、逆に {{mvar|K}} の各既約ユニタリ表現は一意的な {{mvar|λ}} の値に対してこのようにして得られる。（複素リー群の正則表現は、対応するリー環の表現が'''複素'''線型になる表現である。）

== 具体的な記述 ==
ウェイト {{mvar|λ}} はボレル部分群 {{mvar|B}} の指標（1次元表現）{{mvar|&chi;<sub>λ</sub>}} を生じる。{{math|''G''/''B''}} 上の正則直線束 {{mvar|L<sub>λ</sub>}} の正則切断は次のような[[正則写像]]としてより具体的に記述できる：すべての {{math|''g'' &isin; ''G''}} と {{math|''b'' &isin; ''B''}} に対して

:<math> f\colon G\to \mathbb{C}_{\lambda}; f(gb)=\chi_{\lambda}(b)f(g).</math>

これらの切断への {{mvar|G}} の作用は、{{math|''g'', ''h'' &isin; ''G''}} に対して
: <math>g\cdot f(h)=f(g^{-1}h)</math>
によって与えられる。

== 例 ==
{{mvar|G}} を複素[[特殊線型群]] {{math|SL(2, '''C''')}} とする。行列式 1 の上三角行列全体はボレル部分群である。{{mvar|G}} の整ウェイトは[[整数]]と同一視でき、優ウェイトは非負の整数と対応する。{{mvar|B}} の対応する指標 {{math|''&chi;''<sub>''n''</sub>}} は

: <math> \chi_n
\begin{pmatrix}
a & b\\
0 & a^{-1}
\end{pmatrix}=a^n
</math>

の形を持つ。

旗多様体 {{math|''G''/''B''}} は、{{仮リンク|斉次座標|en|homogeneous coordinates}} を {{math|''X'', ''Y''}} とする[[複素射影直線]] {{math|'''CP'''<sup>1</sup>}} と同一視でき、直線束 {{math|''L''<sub>''n''</sub>}} の大域切断の空間は {{math|'''C'''<sup>''2''</sup>}} 上の {{mvar|n}} 次斉次多項式の空間と同一視される。{{math|''n'' &ge; 0}} に対して、この空間の次元は {{math|''n'' + 1}} であり、{{mvar|G}} の多項式代数 {{math|'''C'''[''X'', ''Y'']}} への標準的な作用の下で既約表現をなす。ウェイトベクトルは単項式

: <math>  X^i Y^{n-i}, \quad 0\leq i\leq n </math>

によって与えられ、そのウェイトは {{math|2''i'' &minus; ''n''}} であり、最高ウェイトベクトル {{math|''X''<sup>''n''</sup>}} のウェイトは {{mvar|n}} である。

== 歴史 ==
定理は1950年代初頭にまでさかのぼり、{{harvtxt|Serre|1951-4}} と {{harvtxt|Tits|1955}} において見つけられる。

== 参考文献 ==
*{{citation
 | last = Serre | first = Jean-Pierre | authorlink = Jean-Pierre Serre
 | title = Représentations linéaires et espaces homogènes kählériens des groupes de Lie compacts (d'après Armand Borel et André Weil)
 | journal = Séminaire Bourbaki
 | volume = 2 | issue = 100 | pages = 447–454 | publisher = Soc. Math. France | location = Paris | year = 1954 | orig-year=1951}}. In French; translated title: “Linear representations and Kähler homogeneous spaces of compact Lie groups (after Armand Borel and André Weil).”

*{{citation
 | last = Tits | first = Jacques | authorlink = Jacques Tits
 | title = Sur certaines classes d'espaces homogènes de groupes de Lie
 | series = Acad. Roy. Belg. Cl. Sci. Mém. Coll.
 | volume = 29 | year = 1955}} In French.

*{{citation
 | last = Sepanski | first = Mark R.
 | title = Compact Lie groups.
 | series = Graduate Texts in Mathematics | volume = 235
 | publisher = Springer | location = New York | year = 2007}}.

*{{citation
 | last = Knapp | first = Anthony W.
 | title = Representation theory of semisimple groups: An overview based on examples
 | series = Princeton Landmarks in Mathematics
 | publisher = Princeton University Press | location = Princeton, NJ | year = 2001}}. Reprint of the 1986 original.

{{DEFAULTSORT:ほれるうえいゆのていり}}
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[[Category:表現論の定理]]
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