ボレル・ヴェイユの定理

数学の表現論の分野において、ボレル・ヴェイユの定理 (Borel–Weil theorem) は、コンパクトリー群の既約表現と複素半単純リー群の既約正則表現に対する具体的なモデルを与える。名称はアルマン・ボレル (Armand Borel) とアンドレ・ヴェイユ (André Weil) にちなむ。これらの表現はその群の旗多様体上の正則直線束の大域切断の空間において実現される。高次コホモロジー空間への一般化はテンプレート:仮リンクと呼ばれる。

定理の主張

Γ (G / B, L_{λ})

に作用する。

ボレル・ヴェイユの定理の主張は以下である：テンプレート:Mvar が優整ウェイトであるならば、この表現はテンプレート:Mvar の最高ウェイトテンプレート:Mvar の正則既約最高ウェイト表現である。テンプレート:Mvar へのその制限はテンプレート:Mvar の最高ウェイトテンプレート:Mvar の既約ユニタリ表現であり、逆にテンプレート:Mvar の各既約ユニタリ表現は一意的なテンプレート:Mvar の値に対してこのようにして得られる。（複素リー群の正則表現は、対応するリー環の表現が複素線型になる表現である。）

ウェイトテンプレート:Mvar はボレル部分群テンプレート:Mvar の指標（1次元表現）テンプレート:Mvar を生じる。テンプレート:Math 上の正則直線束テンプレート:Mvar の正則切断は次のような正則写像としてより具体的に記述できる：すべてのテンプレート:Math とテンプレート:Math に対して

f : G \to ℂ_{λ}; f (g b) = χ_{λ} (b) f (g) .

これらの切断へのテンプレート:Mvar の作用は、テンプレート:Math に対して

g \cdot f (h) = f (g^{- 1} h)

によって与えられる。

テンプレート:Mvar を複素特殊線型群テンプレート:Math とする。行列式 1 の上三角行列全体はボレル部分群である。テンプレート:Mvar の整ウェイトは整数と同一視でき、優ウェイトは非負の整数と対応する。テンプレート:Mvar の対応する指標テンプレート:Math は

χ_{n} (\begin{matrix} a & b \\ 0 & a^{- 1} \end{matrix}) = a^{n}

の形を持つ。

旗多様体テンプレート:Math は、テンプレート:仮リンクをテンプレート:Math とする複素射影直線テンプレート:Math と同一視でき、直線束テンプレート:Math の大域切断の空間はテンプレート:Math 上のテンプレート:Mvar 次斉次多項式の空間と同一視される。テンプレート:Math に対して、この空間の次元はテンプレート:Math であり、テンプレート:Mvar の多項式代数テンプレート:Math への標準的な作用の下で既約表現をなす。ウェイトベクトルは単項式

X^{i} Y^{n - i}, 0 \leq i \leq n

によって与えられ、そのウェイトはテンプレート:Math であり、最高ウェイトベクトルテンプレート:Math のウェイトはテンプレート:Mvar である。

定理は1950年代初頭にまでさかのぼり、テンプレート:Harvtxt とテンプレート:Harvtxt において見つけられる。

テンプレート:Citation. In French; translated title: “Linear representations and Kähler homogeneous spaces of compact Lie groups (after Armand Borel and André Weil).”