ボンネゼンの不等式のソースを表示

'''ボンネゼンの不等式''' （ボンネゼンのふとうしき、{{Lang-en-short|Bonnesen's inequality}}）または'''ボンネゼンの定理'''は[[ジョルダン曲線]]の[[外接円]]と[[内接円]]、[[面積]]、[[周長]]に関する[[不等式]]である。[[ユークリッド平面]]における[[等周定理|等周不等式]]より強力である<ref name=":0">{{Cite book|和書 |title=近世幾何学 |year=1947 |publisher=[[岩波書店]] |pages=157,5 |author=[[窪田忠彦]] |doi=10.11501/1063410}}</ref><ref name=":1">{{Cite book |title=Geometric Inequalities |url=https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-662-07441-1 |doi=10.1007/978-3-662-07441-1 |language=en}}</ref><ref>{{Cite web |title=convert |url=https://archive.wikiwix.com/cache/index2.php?url=http://people.math.jussieu.fr/~teissier/documents/LMA3.Teissier.v6.pdf/index.html |website=archive.wikiwix.com |access-date=2024-08-14 |author=[[Bernard Teissier]]}}</ref>。 

具体的には、平面上の単純な[[閉曲線]]<math>S</math>の周長を<math>L</math>、面積を<math>A</math>、内接円と外接円の[[半径]]をそれぞれ<math>r,R</math>とする。[[トミー・ボンネゼン]]は次の不等式を証明した<ref>{{Cite journal|last=Bonnesen|first=T.|date=1921|title=Sur une amélioration de l'inégalité isopérimetrique du cercle et de la démonstration d'une inégalité de Minkowski|url=https://zbmath.org/?format=complete&q=an:48.0839.01|journal=Comptes Rendus Hebdomadaires des Séances de l'Académie des Sciences, Paris|volume=172|pages=1087–1089|language=French|issn=0001-4036}}</ref><ref group="註">ここでいう閉曲線の外接円とは閉曲線を内部に含む最小の円（{{仮リンク|最小円問題|en|Smallest-circle problem|label=最小包含円}}）を指し、閉曲線の内接円とは閉曲線の内側に含まれる最大の円を指す</ref>。
<math display="block"> \pi^2 (R-r)^2 \leq L^2-4\pi A.  </math>右辺の<math> L^2-4\pi A</math>は"''isoperimetric defect''"として知られる<ref name=":1" />。

{{仮リンク|レヴナーのトーラス不等式|en|Loewner's torus inequality}}におけるisosystolic defectはボンネゼンの不等式のisoperimetric defectの{{仮リンク|シストリック幾何学|en|systolic geometry|label=シストリック}}な類似物である<ref>{{Cite journal|last=Horowitz|first=Charles|last2=Katz|first2=Karin Usadi|last3=Katz|first3=Mikhail G.|date=2009-10-01|title=Loewner’s Torus Inequality with Isosystolic Defect|url=https://doi.org/10.1007/s12220-009-9090-y|journal=Journal of Geometric Analysis|volume=19|issue=4|pages=796–808|language=en|doi=10.1007/s12220-009-9090-y|issn=1559-002X}}</ref>。

== 証明 ==
次の証明は[[ヒューゴ・ハドヴィッガー]]に帰せられる<ref>{{Cite book |title=Vorlesungen Über Inhalt, Oberfläche und Isoperimetrie |url=https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-642-94702-5 |doi=10.1007/978-3-642-94702-5 |language=en}}</ref>。原点中心、半径tの円を<math>tB</math>とする。また、関数<math>\text{Area}(x)</math>を閉集合{{mvar|x}}の面積とする。
[[ファイル:Inégalité de Bonnesen (2).jpg|サムネイル|図1|左]]
内接円<math>rB</math>と外接円<math>C</math>の半径がそれぞれ<math>r,R</math>である[[凸集合|凸]][[コンパクト集合]]<math>S</math>を考える。図1では、<math>S</math>を紫色の[[正方形]]、内接円を緑色、外接円を青色で示してある。<math>S</math>に含まれず、<math>C</math>に含まれる部分を<math>Z</math>とする。[[ミンコフスキー和]]<math>Z+rB </math>の面積と半径<math>r+R</math>の円（図1,黄）について

<math display="block">\text{Area}(Z+rB)=\pi(r+R)^2</math>

が成立する。
[[ファイル:Inégalité de Bonnesen (3).jpg|サムネイル|図2|右]]
次に内接円、外接円の中心を通る直線{{math|Δ}}で<math>Z</math>を半分に切断する。上の部分を<math>Z_{s}</math>とする。<math>Z_{s},rB </math>のミンコフスキー和は半径<math>r+R</math>の半円板と図2の様な薄黄色の部分の和集合になる。{{math|''l''{{sub|1}},''l''{{sub|2}}}}を<math>Z</math>と{{math|Δ}}の2つの交わる部分の長さとして次の式が成立する。
<math display="block">\text{Area}(Z_s+rB)=\frac{1}{2}\pi(r+R)^2+(l_1+l_2)r+\pi r^2 </math>
この等式に[[ミンコフスキー・シュタイナーの公式]]を用いて値を評価する。ただし<math>Z_{s}</math>は凸集合ではないため、右辺は極限値とはならない。
<math display="block">\text{Area}(Z_s+rB)=\frac{1}{2}\pi(r+R)^2+(l_1+l_2)r+\pi r^2 \leq \text{Area} (Z_s)+(\pi R+l_1+l_2+p_s)r+\pi r^2</math>
ここで<math>p_s</math>は、<math>S</math>上部の周長。
下部についても同様にした式と、この式を辺々加えて
<math display="block">\pi(r+R)^2+2(l_1+l_2)r+2\pi r^2 \leq \text{Area}(Z)+2\pi rR+2(l_1+l_2)r+pr+2\pi r^2 </math>
<math display="block">\pi(r+R)^2+\leq \text{Area}(Z)+2\pi rR+pr </math>
ここで{{mvar|p}}は<math>S</math>の周長。また、<math>Z</math>の面積は外接円板と<math>S</math>の面積{{mvar|a}}の差に等しいので、
<math display="block">\pi (r+R)^2 \le \pi R^2 - a + 2\pi Rr+ pr</math>
<math display="block">\therefore a -pr + \pi r^2 \le 0. </math>

これは面積<math>S+tB</math>についての[[2次関数|2次多項式]]<math>f(t)=\pi t^2-pt+a</math>に、内接円半径<math>r</math>を代入した値が負になることを意味する<ref>{{Cite web|url= https://www.math.utah.edu/~treiberg/isoperim/Bonn.pdf|title= The Stong Isoperimetric Inequality of Bonnesen|accessdate= 2024-8-31}}</ref>。

上記と全く同様の議論で、外接円半径<math>R</math>についても同様の結論を得る。

<math display="block"> a -pR + \pi R^2 \le 0. </math>

この2つの不等式より、さらに次の不等式が成立する。
<math display="block">\frac {p - \sqrt{p^2 - 4\pi a}}{2\pi} \le r \le R \le \frac {p + \sqrt{p^2 - 4\pi a}}{2\pi}.</math>

これを変形して、
<math display="block"> R-r \le \frac {\sqrt{p^2 - 4\pi a}}{\pi} </math>
<math display="block">\therefore p^2 - 4\pi a \ge \pi^2(R - r)^2.</math>
== 出典 ==
<references responsive="1"></references>{{Reflist|group=註}}

{{デフォルトソート:ほんねせんのふとうしき}}
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