ボンネゼンの不等式

ボンネゼンの不等式 （ボンネゼンのふとうしき、テンプレート:Lang-en-short）またはボンネゼンの定理はジョルダン曲線の外接円と内接円、面積、周長に関する不等式である。ユークリッド平面における等周不等式より強力である。

具体的には、平面上の単純な閉曲線$S$の周長を$L$、面積を$A$、内接円と外接円の半径をそれぞれ$r,R$とする。トミー・ボンネゼンは次の不等式を証明した。 $${\pi }^2(R-r{)}^2\le L^2-4\pi A.$$右辺の$L^2-4\pi A$は"isoperimetric defect"として知られる。

テンプレート:仮リンクにおけるisosystolic defectはボンネゼンの不等式のisoperimetric defectのテンプレート:仮リンクな類似物である。

証明

次の証明はヒューゴ・ハドヴィッガーに帰せられる。原点中心、半径tの円を$tB$とする。また、関数$\text{Area}(x)$を閉集合テンプレート:Mvarの面積とする。

図1

内接円$rB$と外接円$C$の半径がそれぞれ$r,R$である凸コンパクト集合$S$を考える。図1では、$S$を紫色の正方形、内接円を緑色、外接円を青色で示してある。$S$に含まれず、$C$に含まれる部分を$Z$とする。ミンコフスキー和$Z+rB$の面積と半径$r+R$の円（図1,黄）について

$$\text{Area}(Z+rB)=\pi (r+R{)}^2$$

が成立する。

図2

次に内接円、外接円の中心を通る直線テンプレート:Mathで$Z$を半分に切断する。上の部分を$Z_s$とする。$Z_s,rB$のミンコフスキー和は半径$r+R$の半円板と図2の様な薄黄色の部分の和集合になる。テンプレート:Mathを$Z$とテンプレート:Mathの2つの交わる部分の長さとして次の式が成立する。 $$\text{Area}(Z_s+rB)=\frac{1}{2}\pi (r+R{)}^2+(l_1+l_2)r+\pi r^2$$ この等式にミンコフスキー・シュタイナーの公式を用いて値を評価する。ただし$Z_s$は凸集合ではないため、右辺は極限値とはならない。 $$\text{Area}(Z_s+rB)=\frac{1}{2}\pi (r+R{)}^2+(l_1+l_2)r+\pi r^2\le \text{Area}(Z_s)+(\pi R+l_1+l_2+p_s)r+\pi r^2$$ ここで$p_s$は、$S$上部の周長。 下部についても同様にした式と、この式を辺々加えて $$\pi (r+R{)}^2+2(l_1+l_2)r+2\pi r^2\le \text{Area}(Z)+2\pi rR+2(l_1+l_2)r+pr+2\pi r^2$$ $$\pi (r+R{)}^2+\le \text{Area}(Z)+2\pi rR+pr$$ ここでテンプレート:Mvarは$S$の周長。また、$Z$の面積は外接円板と$S$の面積テンプレート:Mvarの差に等しいので、 $$\pi (r+R{)}^2\le \pi R^2-a+2\pi Rr+pr$$ $$\therefore a-pr+\pi r^2\le 0.$$

これは面積$S+tB$についての2次多項式$f(t)=\pi t^2-pt+a$に、内接円半径$r$を代入した値が負になることを意味する。

上記と全く同様の議論で、外接円半径$R$についても同様の結論を得る。

$$a-pR+\pi R^2\le 0.$$

この2つの不等式より、さらに次の不等式が成立する。 $$\frac{p-\sqrt{p^2-4\pi a}}{2\pi }\le r\le R\le \frac{p+\sqrt{p^2-4\pi a}}{2\pi }.$$

これを変形して、 $$R-r\le \frac{\sqrt{p^2-4\pi a}}{\pi }$$ $$\therefore p^2-4\pi a\ge {\pi }^2(R-r{)}^2.$$