等周定理

テンプレート:複数の問題 数学における等周定理（とうしゅうていり）とは、表面積と体積に関する幾何学的不等式である。$n$次元空間 ${ℝ}^n$ の物体 $S\subset {ℝ}^n$ においてその表面積を $\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{r}\mathrm{f}(S)$、体積を $\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}(S)$ で表すと、以下の不等式が成り立つ。

$\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{r}\mathrm{f}(S)\ge n\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}(S{)}^{\frac{n-1}{n}}\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}(B_1{)}^{\frac{1}{n}}$,

この式の $B_1\subset {ℝ}^n$ は単位球である。等号は $S$ が $n$次元の球体であるときに成り立つ。

$n=2$、即ち平面の時には、閉曲線の長さとそれによって囲まれる領域の面積の関係となる。周長を L、領域の面積を A とすると以下の式が成り立つ。

$4\pi A\le L^2,$

等号は領域が円の時のみ成り立つ。