ボールウェイン積分のソースを表示

[[数学]]において、'''ボールウェイン積分'''（{{lang-en-short|Borwein integral}}）は関数sinc(''ax'') の積の[[積分法|積分]]である。ただし、ここでsinc(''x'')は[[sinc関数]]であり、0でないxに対しては sinc(''x'')=sin(''x'')/''x''とし、sinc(0)=1と定める<ref>{{Citation | last1=Borwein | first1=David | last2=Borwein | first2=Jonathan M. | author2-link=Jonathan Borwein | title=Some remarkable properties of sinc and related integrals | doi=10.1023/A:1011497229317 | mr=1829810 | year=2001 | journal=The Ramanujan Journal | issn=1382-4090 | volume=5 | issue=1 | pages=73?89}}</ref><ref>{{cite arxiv | title = Fun With Very Large Numbers | last1 = Baillie | first1 = Robert | eprint = 1105.3943v1 | class = math.NT | year = 2011 }}</ref>。2001年に{{仮リンク|デイヴィッド・ボールウェイン|en|David Borwein}}と{{仮リンク|ジョナサン・ボールウェイン|en|Jonathan Borwein}}によって提示された。これらの積分は、わかりやすいパターンを示すかと思いきや、やがてそれが崩れることで知られる。たとえば、以下のとおりである。

:<math>
\begin{align}
& \int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x} \, dx=\pi/2 \\[10pt]
& \int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x}\frac{\sin(x/3)}{x/3} \, dx = \pi/2 \\[10pt]
& \int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x}\frac{\sin(x/3)}{x/3}\frac{\sin(x/5)}{x/5} \, dx = \pi/2
\end{align}
</math>
このパターンは、次まで続く。
:<math>\int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x}\frac{\sin(x/3)}{x/3}\cdots\frac{\sin(x/13)}{x/13} \, dx = \pi/2</math>
ところが、次のステップではこのパターンが崩れてしまう。
:<math>
\begin{align}
\int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x}\frac{\sin(x/3)}{x/3}\cdots\frac{\sin(x/15)}{x/15} \, dx
 &= \frac{467807924713440738696537864469}{935615849440640907310521750000}\pi \\
 &= \frac{\pi}{2} - \frac{6879714958723010531}{935615849440640907310521750000}\pi \\
 &\simeq \frac{\pi}{2} - 2.31\times 10^{-11}
\end{align}
</math>
一般には、3,5,...という数に限らず、それらの数の逆数の和が1より小さい任意の実数たちを用いても、同様に積分値がπ/2となる。上の例では、1/3+1/5+...+1/13<1だが、1/3+1/5+...+1/15>1である。

より長い列の例を挙げる。
:<math>\int_0^\infty 2 \cos(x) \frac{\sin(x)}{x}\frac{\sin(x/3)}{x/3}\cdots\frac{\sin(x/111)}{x/111} \, dx = \pi/2,</math>
だが、
:<math>\int_0^\infty 2 \cos(x) \frac{\sin(x)}{x}\frac{\sin(x/3)}{x/3}\cdots\frac{\sin(x/111)}{x/111}\frac{\sin(x/113)}{x/113} \, dx < \pi/2,</math>
である。これらの例とともに、このようなことが起こる理由の直観的な説明も示されている<ref>{{Citation | last1=Schmid | first1=Hanspeter |   title=Two curious integrals and a graphic proof | doi=10.4171/EM/239 | year=2014 | url=http://schmid-werren.ch/hanspeter/publications/2014elemath.pdf | journal=Elemente der Mathematik | issn=0013-6018 | volume=69 | issue=1 | pages=11–17}}</ref>。

== 数式処理システムMaximaによるプログラムの例 ==
<pre>
/* 上記の最初の例 */
f(n) := if n=1 then sin(x)/x else f(n-2) * (sin(x/n)/(x/n));
for n from 1 thru 15 step 2 do　(
  print("f(", n, ")=", f(n) ),　
  print("integral of f for n=", n, " is ", integrate(f(n), x, 0, inf))
);
</pre>
<pre>
/* 上記の二つ目の例 */
for n from 1 thru 19 step 2 do　(
  print("g(", n, ")=", 2*cos(x)*f(n) ),　
  print("integral of g for n=", n, " is ", integrate(2*cos(x)*f(n), x, 0, inf))
);
</pre>

== 出典 ==
{{Reflist}}

{{DEFAULTSORT:ほおるうえいんせきふん}}
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[[Category:数学に関する記事]]
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