ボールウェイン積分

数学において、ボールウェイン積分（テンプレート:Lang-en-short）は関数sinc(ax) の積の積分である。ただし、ここでsinc(x)はsinc関数であり、0でないxに対しては sinc(x)=sin(x)/xとし、sinc(0)=1と定める。2001年にテンプレート:仮リンクとテンプレート:仮リンクによって提示された。これらの積分は、わかりやすいパターンを示すかと思いきや、やがてそれが崩れることで知られる。たとえば、以下のとおりである。

$\begin{array}{cc}& \underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin (x)}{x}dx=\pi /2\\ & \underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin (x)}{x}\frac{\sin (x/3)}{x/3}dx=\pi /2\\ & \underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin (x)}{x}\frac{\sin (x/3)}{x/3}\frac{\sin (x/5)}{x/5}dx=\pi /2\end{array}$

このパターンは、次まで続く。

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin (x)}{x}\frac{\sin (x/3)}{x/3}\cdots \frac{\sin (x/13)}{x/13}dx=\pi /2$

ところが、次のステップではこのパターンが崩れてしまう。

$\begin{array}{cc}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin (x)}{x}\frac{\sin (x/3)}{x/3}\cdots \frac{\sin (x/15)}{x/15}dx& =\frac{467807924713440738696537864469}{935615849440640907310521750000}\pi \\ & =\frac{\pi }{2}-\frac{6879714958723010531}{935615849440640907310521750000}\pi \\ & \simeq \frac{\pi }{2}-2.31\times 10^{-11}\end{array}$

一般には、3,5,...という数に限らず、それらの数の逆数の和が1より小さい任意の実数たちを用いても、同様に積分値がπ/2となる。上の例では、1/3+1/5+...+1/13<1だが、1/3+1/5+...+1/15>1である。

より長い列の例を挙げる。

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}2\cos (x)\frac{\sin (x)}{x}\frac{\sin (x/3)}{x/3}\cdots \frac{\sin (x/111)}{x/111}dx=\pi /2,$

だが、

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}2\cos (x)\frac{\sin (x)}{x}\frac{\sin (x/3)}{x/3}\cdots \frac{\sin (x/111)}{x/111}\frac{\sin (x/113)}{x/113}dx<\pi /2,$

である。これらの例とともに、このようなことが起こる理由の直観的な説明も示されている。

数式処理システムMaximaによるプログラムの例

/* 上記の最初の例 */
f(n) := if n=1 then sin(x)/x else f(n-2) * (sin(x/n)/(x/n));
for n from 1 thru 15 step 2 do　(
  print("f(", n, ")=", f(n) ),　
  print("integral of f for n=", n, " is ", integrate(f(n), x, 0, inf))
);

/* 上記の二つ目の例 */
for n from 1 thru 19 step 2 do　(
  print("g(", n, ")=", 2*cos(x)*f(n) ),　
  print("integral of g for n=", n, " is ", integrate(2*cos(x)*f(n), x, 0, inf))
);