ポアソン多様体のソースを表示

{{出典の明記|date=2015年10月}}
[[多様体]] {{mvar|M}} が'''ポアソン多様体'''（ポアソンたようたい、{{lang-en-short|Poisson Manifold}}）であるとは、{{Mvar|M}} 上の {{math|''C''{{sup|∞}}}} 級関数全体のなすベクトル空間を {{math|''C''{{sup|∞}}(''M'')}} と表すとき、次の性質を満たす写像 <math> \{ \cdot, \cdot \} \colon C^{\infty}(M) \times C^{\infty}(M) \to C^{\infty}(M) </math> が存在することをいう。

# <math> \{ \cdot,\cdot\} </math> は、<math>\mathbb{R}</math>-[[双線型形式|双線形形式]]である。
# <math>\, \{ f,g \} = -\{ g,f \} \,</math> 
# <math>\, \{ \{ f,g \} , h\} + \{ \{ g,h \} , f\} + \{ \{ h,f \} , g\} = 0 \,</math>　:ヤコビ律
# <math>\, \{ f, gh \} = g\{ f,h \} + h\{ f,g \} \,</math>

このとき、写像 <math> \{ \cdot, \cdot \} \colon C^{\infty}(M) \times C^{\infty}(M) \to C^{\infty}(M) </math> を {{mvar|M}} 上の'''ポアソン構造'''、もしくは'''[[ポアソン括弧]]'''と呼ぶ。

== 例 ==
<math>\, (M,\omega) \,</math> を[[シンプレクティック多様体]]とする。このとき、<math> M </math>上にポアソン構造が次のようにして定義できる。

: <math>\, \{ f,g \} = \omega( X_{f}, X_{g}) \,</math>

ここで、<math>\, X_{f}, X_{g} \,</math> はそれぞれ <math>\, f,g \,</math> から定まる[[ハミルトンベクトル場]]である。従って、シンプレクティック多様体はポアソン多様体でもある。しかしながら、ポアソン多様体がシンプレクティック多様体であるとは限らない。

<math>(q_{1},\cdots,q_{n},p_{1},\cdots,p_{n})</math> を[[ダルブー座標]]とすると、シンプレクティック多様体上のポアソン構造は、

: <math> \{ f,g \} = 
\sum_{i=1}^{n}\left(
\frac{\partial f}{\partial p_{i}}\frac{\partial g}{\partial q_{i}}
-\frac{\partial f}{\partial q_{i}}\frac{\partial g}{\partial p_{i}}
\right)
</math>

と書ける。

== 関連項目 ==

* [[幾何学的量子化]]

{{デフォルトソート:ほあそんたようたい}}
[[Category:微分幾何学]]
[[Category:シメオン・ドニ・ポアソン]]
[[Category:数学に関する記事]]