ポアソン多様体

テンプレート:出典の明記 多様体 テンプレート:Mvar がポアソン多様体（ポアソンたようたい、テンプレート:Lang-en-short）であるとは、テンプレート:Mvar 上の テンプレート:Math 級関数全体のなすベクトル空間を テンプレート:Math と表すとき、次の性質を満たす写像 $\{\cdot ,\cdot \}:C^{\mathrm{\infty }}(M)\times C^{\mathrm{\infty }}(M)\to C^{\mathrm{\infty }}(M)$ が存在することをいう。

1. $\{\cdot ,\cdot \}$ は、$ℝ$-双線形形式である。
2. $\{f,g\}=-\{g,f\}$
3. $\{\{f,g\},h\}+\{\{g,h\},f\}+\{\{h,f\},g\}=0$　:ヤコビ律
4. $\{f,gh\}=g\{f,h\}+h\{f,g\}$

このとき、写像 $\{\cdot ,\cdot \}:C^{\mathrm{\infty }}(M)\times C^{\mathrm{\infty }}(M)\to C^{\mathrm{\infty }}(M)$ を テンプレート:Mvar 上のポアソン構造、もしくはポアソン括弧と呼ぶ。

例

$(M,\omega )$ をシンプレクティック多様体とする。このとき、$M$上にポアソン構造が次のようにして定義できる。

$\{f,g\}=\omega (X_f,X_g)$

ここで、$X_f,X_g$ はそれぞれ $f,g$ から定まるハミルトンベクトル場である。従って、シンプレクティック多様体はポアソン多様体でもある。しかしながら、ポアソン多様体がシンプレクティック多様体であるとは限らない。

$(q_1,\cdots ,q_n,p_1,\cdots ,p_n)$ をダルブー座標とすると、シンプレクティック多様体上のポアソン構造は、

$\{f,g\}=\sum _{i=1}^n(\frac{\partial f}{\partial p_i}\frac{\partial g}{\partial q_i}-\frac{\partial f}{\partial q_i}\frac{\partial g}{\partial p_i})$

と書ける。

関連項目

• 幾何学的量子化