ポアソン括弧

テンプレート:出典の明記 ポアソン括弧(ぽあそんかっこ、テンプレート:Lang-en-short)とは、ハミルトン形式の解析力学における重要概念の一つ。ポアソン括弧の名はフランスの物理学者シメオン・ドニ・ポアソンに因む。ポアソンは1809年の力学に関する論文の中でポアソン括弧を導入した^[1]^[2]。

定義

ハミルトニアン形式の力学において、物体の運動は一般化座標テンプレート:Mathと一般化運動量テンプレート:Mathの組からなる正準変数で記述される。正準変数をテンプレート:Mathとする相空間において、テンプレート:Math を可微分な実数値関数とする。テンプレート:Math のポアソン括弧とは、関数

{f, g} : = \sum_{i = 1}^{n} (\frac{\partial f}{\partial q_{i}} \frac{\partial g}{\partial p_{i}} - \frac{\partial g}{\partial q_{i}} \frac{\partial f}{\partial p_{i}})

の事である。テンプレート:Mathがテンプレート:Math の関数である事を明記してテンプレート:Math、または添え字の表記でテンプレート:Mathとも書く。

またベクトル表記を用れば、

{f, g} = \frac{\partial f}{\partial q} \frac{\partial g}{\partial p} - \frac{\partial g}{\partial q} \frac{\partial f}{\partial p}

とも書き表せる。

ハミルトニアンをテンプレート:Mathとすると、運動方程式による正準変数の時間発展テンプレート:Mathはハミルトンの正準方程式

{\dot{q}}_{i} (t) = \frac{\partial H}{\partial p_{i}}

{\dot{p}}_{i} (t) = - \frac{\partial H}{\partial q_{i}}

で与えられる。但し、ドット記号は時間テンプレート:Mvarについての微分を表す。一般に正準方程式の解テンプレート:Mathと時間テンプレート:Mvarに依存する関数テンプレート:Mathの時間変化は

\frac{d}{d t} F (q (t), p (t), t) = \frac{\partial}{\partial t} F (q (t), p (t), t) + \sum_{i = 1}^{n} (\frac{\partial F}{\partial q_{i}} {\dot{q}}_{i} + \frac{\partial F}{\partial p_{i}} {\dot{p}}_{i}) = \frac{\partial}{\partial t} F (q (t), p (t), t) + \sum_{i = 1}^{n} (\frac{\partial F}{\partial q_{i}} \frac{\partial H}{\partial p_{i}} - \frac{\partial F}{\partial q_{i}} \frac{\partial H}{\partial p_{i}}) = \frac{\partial}{\partial t} F (q (t), p (t), t) + {F, H}

とハミルトニアンテンプレート:Mvarとのポアソン括弧テンプレート:Mathで表現できる^[3]。関数テンプレート:Mathに対し、

\frac{d}{d t} F (q (t), p (t), t) = \frac{\partial}{\partial t} F (q (t), p (t), t) + {F, H}

はテンプレート:Mvarの運動方程式であり、特に正準変数についての正準方程式は

{\dot{q}}_{i} (t) = {q_{i}, H}

{\dot{p}}_{i} (t) = {p_{i}, H}

とポアソン括弧で表せる。

数学的性質

性質

相空間上の二階微分可能な任意の実数値関数テンプレート:Math と実数テンプレート:Mathに対し、ポアソン括弧は以下の性質を満たす^[3]^[4]：

双線形性

ポアソン括弧は双線形である。すなわちテンプレート:Mathは第一成分、第二成分の双方に対して線形である。

{λ f + μ g, h} = λ {f, h} + μ {g, h}

{f, λ g + μ h} = λ {f, g} + μ {f, h}

歪対称性

ポアソン括弧は歪対称性を満たす。

{f, g} = - {g, f}

歪対称性から

{f, f} = 0

が成り立つ。

ヤコビの恒等式

ポアソン括弧はヤコビの恒等式を満たす。

{{f, g}, h} + {{h, f}, g} + {{g, h}, f} = 0

ライプニッツ・ルール

ポアソン括弧はライプニッツ・ルールを満たす。

{f g, h} = {f, h} g + f {g, h}

{f, g h} = {f, g} h + g {f, h}

これらの性質から相空間における滑らかな関数のなす集合はポアソン括弧で積演算を定めるとリー代数となる^[5]。

時間による全微分

ポアソン括弧の時間による全微分は次式を満たす。

\frac{d}{d t} {f, g} = {\frac{d}{d t} f, g} + {f, \frac{d}{d t} g}

この関係式とヤコビの恒等式からポアソンの定理と呼ばれる次の性質が成り立つ^[4]^[6]。

\frac{d}{d t} f = \frac{d}{d t} g = 0 \Rightarrow \frac{d}{d t} {f, g} = 0

相空間上の時間に陽に依存しない力学量テンプレート:Mathが時間に対して不変であるとき、テンプレート:Mvar は保存量、または第一積分であるという。ポアソンの定理より、相空間における第一積分のなす集合は滑らかな関数のなすリー代数の部分リー代数になる^[5]。

基本ポアソン括弧

正準変数テンプレート:Math に対して、正準変数同士のポアソン括弧を基本ポアソン括弧という^[4]^[7]。基本ポアソン括弧は次のようになる。

${p_{i}, p_{j}} = {q_{i}, q_{j}} = 0$ 、 ${q_{i}, p_{j}} = δ_{i j}$

ここでテンプレート:Mvar は

δ_{i j} : = {\begin{matrix} 1, & i = j, \\ 0, & i \neq j . \end{matrix}

で与えられるクロネッカーのデルタである。また、次の関係式が成り立つ。

{f, q_{i}} = - \frac{\partial f}{\partial p_{i}}, {f, p_{i}} = \frac{\partial f}{\partial q_{i}}