正準変数

テンプレート:出典の明記 正準変数(せいじゅんへんすう、テンプレート:Lang-en-short)とは、ハミルトン形式の解析力学において、物体の運動を記述する基本変数として用いられる一般化座標と一般化運動量の組をいう。しばしば一般化座標は文字 テンプレート:Mvar 、一般化運動量は テンプレート:Mvar で表される。正準（カノニカル、テンプレート:Lang-en-short）という語は標準的、慣例的という意味を表す。ウィリアム・ローワン・ハミルトンによって導入された正準変数による形式に正準（テンプレート:Lang-fr-short）という語を充てたのは、カール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビである。

ニュートン力学やラグランジュ力学においては、基本変数が一般化座標 テンプレート:Mvar とその時間微分である一般化速度 テンプレート:Math であったが、ハミルトン力学においては、一般化座標と一般化運動量が用いられる。ラグランジアンテンプレート:Math は一般化座標、一般化速度、時間の関数である。ここで テンプレート:Math にルジャンドル変換

$H=p\dot{q}-L$

を施すことで一般化座標、一般化運動量、時間を変数とする関数ハミルトニアンテンプレート:Mathが得られ、正準方程式

$\dot{q}=\frac{\partial H}{\partial p}$

$\dot{p}=-\frac{\partial H}{\partial q}$

が得られる。

概要

一般化座標テンプレート:Mathと正準共役な一般化運動量 テンプレート:Mathの組によるテンプレート:Mvar個の変数 テンプレート:Mathを系の状態を指定する独立な変数と見なしたときに、テンプレート:Mathを正準変数という。このとき、一般化座標 テンプレート:Mvar を正準座標、一般化運動量 テンプレート:Mvar を正準運動量とも呼ぶ。正準変数テンプレート:Mathを座標とするテンプレート:Mvar次元の空間を相空間という。系の状態は相空間上の1点で指定される。ハミルトニアンをテンプレート:Mathとするとき、物体の運動を記述する運動方程式は

${\dot{q}}^i(t)=\frac{\partial H}{\partial p_i}$

${\dot{p}}_i(t)=-\frac{\partial H}{\partial q^i}$

で与えられる。但し、ドット記号は時間微分を表す。この方程式をハミルトンの正準方程式という。この正準方程式で時間発展が定まる力学系を自由度テンプレート:Mvarのハミルトン力学系、またはハミルトン系という。ハミルトン力学系での系の時間発展は相空間上の軌道テンプレート:Mathで与えられる。

テンプレート:Mvar個の変数 テンプレート:Mathを

$(z^1,\cdots ,z^n,z^{n+1},\cdots ,z^{2n}):=(q^1,\cdots ,q^n,p_1,\cdots ,p_n)$

で定義すると正準変数をまとめて、テンプレート:Mathで表記することができる。列ベクトルでの表記を テンプレート:Mathとすると、正準方程式は

$\dot{𝒛}(t)=\mathrm{\Omega }\mathrm{\nabla }H(𝒛(t))$

となる。ここではテンプレート:Mathはナブラ演算子である。テンプレート:Mathは

$\mathrm{\Omega }=\left(\begin{array}{cc}{0}_n& I_n\\ -I_n& 0_n\end{array}\right)$

で定義されるテンプレート:Math行列である。テンプレート:Math内のテンプレート:Mathはテンプレート:Mvar 次の零行列、テンプレート:Mathはテンプレート:Mvar 次の単位行列である。

ポアソン括弧

テンプレート:Main 相空間上の関数テンプレート:Math、テンプレート:Mathに対し

$\{f,g\}:=\sum _{i=1}^n(\frac{\partial f}{\partial q_i}\frac{\partial g}{\partial p_i}-\frac{\partial f}{\partial p_i}\frac{\partial g}{\partial q_i})$

で定義されるテンプレート:Mathをポアソン括弧という。正準方程式による時間発展テンプレート:Mathに対し、テンプレート:Mathの時間変化は

$\frac{d}{dt}f(q(t),p(t),t)=\frac{\partial }{\partial t}f(q(t),p(t),t)+\{f,H\}$

とハミルトニアン テンプレート:Mvar とのポアソン括弧で表される。特に正準変数の時間発展を記述する正準方程式は

${\dot{q}}_i(t)=\{q_i,H\}$

${\dot{p}}_i(t)=\{p_i,H\}$

となる。 正準変数をまとめた表記テンプレート:Mathと行列テンプレート:Mathを用いるとポアソン括弧は

$\{f,g\}=\sum _{i,j}{\omega }_{ij}\frac{\partial f}{\partial z_i}\frac{\partial g}{\partial z_j}$

となる。

具体例

荷電粒子の運動

電荷量テンプレート:Mvarをとする質量テンプレート:Mvarの荷電粒子の電磁場中における運動を考える。3次元空間での粒子の位置座標テンプレート:Mathを一般化座標にとる。スカラーポテンシャルをテンプレート:Math、ベクトルポテンシャルをテンプレート:Mathとすると、荷電粒子のラグランジアンは、

$L(𝒙,\dot{𝒙},t)=\frac{1}{2}m{\dot{𝒙}}^2-e\varphi (𝒙,t)+e\dot{𝒙}\cdot 𝑨(𝒙,t)$

で与えられる。ここでテンプレート:Mathに正準共役な運動量テンプレート:Mathは

$p_x:=\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}=m\dot{x}+e{A}_1(𝒙,t)$

$p_y:=\frac{\partial L}{\partial \dot{y}}=m\dot{y}+e{A}_2(𝒙,t)$

$p_z:=\frac{\partial L}{\partial \dot{z}}=m\dot{z}+e{A}_3(𝒙,t)$

である。これをベクトルで表記すると

$𝒑=\frac{\partial L}{\partial \dot{𝒙}}=m\dot{𝒙}+e𝑨(𝒙,t)$

となる。ハミルトニアンは

$\begin{array}{cc}H(𝒙,𝒑,t)& =𝒑\cdot \dot{𝒙}-L\\ & =\frac{1}{2m}(𝒑-e𝑨(𝒙,t){)}^2+e\varphi (𝒙,t)\end{array}$

である。

中心力ポテンシャルの下での運動

距離テンプレート:Mathのみに依存する中心力ポテンシャルテンプレート:Mathの下での質量テンプレート:Mvarの粒子の運動を考える。3次元空間での粒子の位置の極座標表示をテンプレート:Mathとし、極座標テンプレート:Mathを一般化座標にとる。このとき、粒子のラグランジアンは

$L(r,\theta ,\varphi ,\dot{r},\dot{\theta },\dot{\varphi })=\frac{1}{2}m({\dot{r}}^2+r^2{\dot{\theta }}^2+r^2{\sin }^2\theta {\dot{\varphi }}^2)-V(r)$

で与えられる。テンプレート:Mathに正準共役な運動量テンプレート:Mathは

$p_r:=\frac{\partial L}{\partial \dot{r}}=m\dot{r}$

$p_{\theta }:=\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta }}=m{r}^2\dot{\theta }$

$p_{\varphi }:=\frac{\partial L}{\partial \dot{\varphi }}=m{r}^2{\sin }^2\theta \dot{\varphi }$

である。ハミルトニアンは

$\begin{array}{cc}H(r,\theta ,\varphi ,p_r,p_{\theta },p_{\varphi })& =p_r\dot{r}+p_{\theta }\dot{\theta }+p_{\varphi }\dot{\varphi }-L\\ & =\frac{p_r^2}{2m}+\frac{p_{\theta }^2}{2m{r}^2}+\frac{p_{\varphi }^2}{2m{r}^2{\sin }^2\theta }+V(r)\end{array}$

である。

文献

論文

• テンプレート:Cite journal, in

• テンプレート:Cite journal

書籍

• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book

関連項目

• ハミルトン力学
• ハミルトニアン
• 正準変換