ポアソン括弧のソースを表示

{{出典の明記|date=2015年3月}}
'''ポアソン括弧'''(ぽあそんかっこ、{{Lang-en-short|Poisson Bracket}})とは、[[ハミルトン力学|ハミルトン形式]]の[[解析力学]]における重要概念の一つ。ポアソン括弧の名はフランスの物理学者[[シメオン・ドニ・ポアソン]]に因む。ポアソンは1809年の力学に関する論文の中でポアソン括弧を導入した<ref name="Poisson1809">[[#poisson1881|S. D. Poisson (1809)]]</ref><ref name="Marle2009">[[#marle2009|C. M. Marle (2009)]]</ref>。

== 定義 ==
ハミルトニアン形式の力学において、物体の運動は[[一般化座標]] {{math|''q''{{=}}(''q''<sub>1</sub>,..,''q''<sub>n</sub>)}}と[[一般化運動量]] {{math|''p''{{=}}(''p''<sub>1</sub>,..,''p''<sub>n</sub>)}}の組からなる[[正準変数]]で記述される。正準変数を{{math|(''q'', ''p'')}}とする[[相空間]]において、{{Math|''f''(''q'', ''p''), ''g''(''q'', ''p'')}} を可微分な実数値関数とする。{{Math|''f'', ''g''}} の'''ポアソン括弧'''とは、関数

:<math>
\{f,g\}
:=\sum_{i=1}^n \Big(\frac{\partial f}{\partial q_i}\frac{\partial g}{\partial p_i}
 - \frac{\partial g}{\partial q_i}\frac{\partial f}{\partial p_i}\Big)
</math>
の事である。{{math|&#123;''f'', ''g''&#125;}}が {{Math|(''q'', ''p'')}} の関数である事を明記して{{math|&#123;''f'', ''g''&#125;(''q'', ''p'')}}、または添え字の表記で{{math|&#123;''f'', ''g''&#125;<sub>''q'', ''p''</sub>}}とも書く。

またベクトル表記を用れば、
: <math>
\{f,g\}
=\frac{\partial f}{\partial q}\frac{\partial g}{\partial p}
 - \frac{\partial g}{\partial q}\frac{\partial f}{\partial p}
</math>
とも書き表せる。

[[ハミルトニアン]]を {{math|''H''{{=}}''H''(''q'', ''p'', ''t'')}}とすると、[[運動方程式]]による正準変数の時間発展 {{math|(''q''(''t''), ''p''(''t''))}}は[[ハミルトンの正準方程式]]

:<math>\dot{q}_i(t) = \frac{\partial H}{\partial p_i}</math>
:<math>\dot{p}_i (t)= -\frac{\partial H}{\partial q_i}</math>

で与えられる。但し、ドット記号は時間{{mvar|t}}についての微分を表す。一般に正準方程式の解 {{math|(''q''(''t''), ''p''(''t''))}}と時間{{mvar|t}}に依存する関数 {{math|''F''{{=}}''F''(''q''(''t''), ''p''(''t''), ''t'')}}の時間変化は

:<math>
\frac{d}{dt}F(q(t),p(t),t)
=\frac{ \partial }{\partial t}F(q(t),p(t),t)
+\sum_{i=1}^n\Big( \frac{\partial F}{\partial q_i}\dot{q}_i
+\frac{\partial F}{\partial p_i} \dot{p}_i \Big)
=\frac{ \partial }{\partial t}F(q(t),p(t),t)
+\sum_{i=1}^n \Big(\frac{\partial F}{\partial q_i}\frac{\partial H}{\partial p_i}
 - \frac{\partial F}{\partial q_i}\frac{\partial H}{\partial p_i}\Big)
=\frac{ \partial }{\partial t}F(q(t),p(t),t) +\{ F, H\}
</math>

とハミルトニアン {{mvar|H}}とのポアソン括弧{{math|&#123;''F'',''H''&#125;}}で表現できる<ref name="namiki1991_ch2">[[#namiki1991：|並木 (1991)、第2章]]</ref>。
関数 {{math|''F''{{=}}''F''(''q'', ''p'', ''t'')}}に対し、

:<math>\frac{d}{dt}F(q(t),p(t),t)=\frac{ \partial }{\partial t}F(q(t),p(t),t) +\{ F, H\}</math>

は {{mvar|F}}の運動方程式であり、特に正準変数についての正準方程式は

:<math>\dot{q}_i(t) = \{ q_i, H\}</math>
:<math>\dot{p}_i(t) = \{ p_i, H\}</math>

とポアソン括弧で表せる。

== 数学的性質 ==
===性質===
相空間上の[[微分可能関数|二階微分可能]]な任意の[[実数値関数]] {{math|''f'', ''g'', ''h''}} と実数{{math|''&lambda;'', ''&mu;''}}に対し、ポアソン括弧は以下の性質を満たす<ref name="namiki1991_ch2"></ref><ref name="Hatake_2014_sec6.8">[[#hataake2014|畑 (2014), &sect;6.8]]</ref>：

;双線形性
ポアソン括弧は[[双線型写像|双線形]]である。すなわち{{math|&#123; , &#125;}}は第一成分、第二成分の双方に対して線形である。
:<math>\{\lambda f+ \mu g, h\} = \lambda \{f, h\} + \mu \{g, h\}</math>
:<math>\{f, \lambda g+\mu h\} = \lambda \{f, g\} + \mu \{f, h\}</math>

;歪対称性
ポアソン括弧は[[歪対称双線型形式|歪対称性]]を満たす。
:<math>\{f, g\} =-\{g, f\}</math>
歪対称性から
:<math>\{f, f\} =0</math>
が成り立つ。

;ヤコビの恒等式
ポアソン括弧は[[ヤコビの恒等式]]を満たす。
:<math>\{\{f, g\}, h\} + \{\{h, f\}, g\} +\{\{g, h\}, f\} = 0</math>

;ライプニッツ・ルール
ポアソン括弧は[[積の微分法則|ライプニッツ・ルール]]を満たす。
:<math>\{fg, h\} = \{f, h\}g + f\{g, h\}</math>
:<math>\{f, gh\} = \{f, g\}h + g\{f, h\}</math>


これらの性質から相空間における[[滑らかな関数]]のなす集合はポアソン括弧で積演算を定めると[[リー代数]]となる<ref name="Yamamoto_Nakamura_1998b_sec6.4">[[#yamamoto_nakamura_1998b|山本、中村 (1998b), &sect;6.4]]</ref>。

===時間による全微分===
ポアソン括弧の時間による全微分は次式を満たす。
:<math>\frac{d}{dt}\{f,g\} = \bigl \{\frac{d}{dt}f,g \bigr \} + \bigl \{f,\frac{d}{dt}g \bigr \}</math>

この関係式とヤコビの恒等式から'''ポアソンの定理'''と呼ばれる次の性質が成り立つ<ref name="Hatake_2014_sec6.8"></ref><ref name="Yamamoto_Nakamura_1998b_sec6.3">[[#yamamoto_nakamura_1998b|山本、中村 (1998b), &sect;6.3]]</ref>。
:<math> \frac{d}{dt}f = \frac{d}{dt}g = 0 \Rightarrow \frac{d}{dt}\{f,g\} = 0</math>

相空間上の時間に陽に依存しない力学量{{math|''F''{{=}}''F''(''q''(''t''), ''p''(''t''))}}が時間に対して不変であるとき、{{mvar|F}} は[[保存量]]、または[[第一積分]]であるという。
ポアソンの定理より、相空間における第一積分のなす集合は[[滑らかな関数]]のなすリー代数の[[リー代数#部分空間|部分リー代数]]になる<ref name="Yamamoto_Nakamura_1998b_sec6.4"></ref>。

===基本ポアソン括弧===
正準変数 {{Math|''q'', ''p''}} に対して、正準変数同士のポアソン括弧を'''基本ポアソン括弧'''という<ref name="Hatake_2014_sec6.8"></ref><ref name="Yamamoto_Nakamura_1998b_sec6.2">[[#yamamoto_nakamura_1998b|山本、中村 (1998b), &sect;6.2]]</ref>。基本ポアソン括弧は次のようになる。

<math>\{ p_i, p_j \} = \{ q_i, q_j \} =0</math>、<math>\{ q_i, p_j \} =\delta_{ij}</math>

ここで {{mvar|&delta;<sub>ij</sub>}} は
:<math>\delta_{ij}:=\begin{cases}
1, & i=j,\\
0, & i\neq j.
\end{cases}</math>
で与えられる[[クロネッカーのデルタ]]である。また、次の関係式が成り立つ。

:<math>\{ f , q_i \} = -\frac{\partial f}{\partial p_i},\quad \{ f , p_i \} = \frac{\partial f}{\partial q_i}</math>

== ポアソン括弧と保存量 ==
ポアソン括弧は運動の保存量を見つける為に役立つ。実際 {{Mvar|H}} を時間不変なハミルトニアンとし、{{Math|(''q''(''t''),''p''(''t''))}} を {{Mvar|H}} に関する[[正準方程式]]の解とし、{{Mvar|f}} を（時刻に依存しない）可微分な任意の関数とすれば、

: <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}f(q(t),p(t))
= \frac{\partial f}{\partial q}\dot{q} + \frac{\partial f}{\partial p}\dot{p}
\underset{(1)}{=} 
  \frac{\partial f}{\partial q}\frac{\partial H}{\partial p}
 - \frac{\partial f}{\partial p}\frac{\partial H}{\partial q}
 = \{f,H\}(q(t),p(t))
</math>

であるので、 {{Math|{''f'', ''H''<nowiki>}</nowiki>}} が0なら {{Math|''f''(''q''(''t''),''p''(''t''))}} は時刻 {{Mvar|t}} によらず不変である。（上で(1)は[[正準方程式]]から従う。）

また {{Mvar|f, g}} を {{Math|{''f'', ''H''}, {''g'', ''H''<nowiki>}</nowiki>}}が恒等的に0になる関数とすれば、

:<math>\{\{f,g\},H\}\underset{(2)}{=} - \{\{H,f\},g\} - \{\{g,H\},f\}
\underset{(3)}{=} 0.
</math>

よって {{Math|{''f'',''g''}(''q''(''t''),''p''(''t''))}} も時刻 {{Mvar|t}} によらず不変である。（上で(2)ヤコビの恒等式、(3)は歪対称性と仮定から従う。）

{{Mvar|f, g}} が運動の保存量である事が分かれば、物体は {{Math|1=''f'' = const., ''g'' = const.}} を満たす相空間の部分集合上で運動する事が分かる。特に保存量が {{Math|2''n''&minus;1}} 個見つかれば、物体が運動する場所が1次元空間に限定されるので、物体の軌道が完全に決定できる。多くの系において正準方程式を実際に解いて運動を決定するのは非常に困難である為、ポアソン括弧を使って保存量を見つけて運動の範囲を特定するのはハミルトン力学において重要な手法となる。

== シンプレクティック形式による定義 ==

ポアソン括弧の前述した定義は[[正準座標]] (q,p) に依存しているが、[[シンプレクティック形式]] {{Mvar| ω}} を使えば座標に依存しない定義を以下のようにして得られる。（よって特に、ポアソン括弧を[[シンプレクティック多様体]]上で定義できる。）

関数 {{Mvar|f}} に対し、<math>X_f</math>を

: <math>\mathrm{d}f(\cdot)=\omega(X_f,\cdot)</math> ...(4)

を満たす[[多様体|接ベクトル]]とするとき、'''ポアソン括弧''' {f,g} は

: <math>\{f,g\}=\omega(X_f,X_g)</math>

により定義される。ここで d は[[微分形式#外微分|外微分]]である。なお(4)を満たす <math>X_f</math> の存在は、シンプレクティック形式が非退化である事と[[外積代数]]の一般論から従う。この定義によるポアソン括弧が前述の定義によるそれと一致する事は、シンプレクティック形式を[[ダルブー座標]]で直接書き表して見る事で簡単に証明できる。

また外積代数の一般論から、ポアソン括弧は以下のようにも書き表す事ができる事が示せる：

:<math>\{f,g\}=\mathrm{d}f(X_g)=-\mathrm{d}g(X_f)=X_g(f)=-X_f(g)</math> ...(5)

== リー括弧との関係 ==

ポアソン括弧と[[リー微分|リー括弧]]

: <math>[A,B]=AB-BA</math>

は以下の関係を満たす：

:<math>X_{\{f,g\}}=-[X_f,X_g].</math>
=== 証明 ===

{{Mvar|h}} を二回微分可能な任意の関数とするとき、(5)より

:<math>X_fX_g(h) = X_f(\{h,g\}) = \{\{h,g\},f\}.</math>

同様に

:<math>X_gX_f(h) = \{\{h,f\},g\}.</math>

よってヤコビの恒等式と(5)より、

:<math>[X_f,X_g](h)=(X_fX_g-X_gX_f)(h) = \{\{h,g\},f\} - \{\{h,f\},g\}
 = \{\{f,g\},h\} = -X_{\{f,g\}}(h).</math>

{{Mvar|h}} の任意性より<math>[X_f,X_g]=-X_{\{f,g\}}</math>が証明された。

== 脚注 ==
===出典===
{{reflist}}

== 参考文献 ==
===論文===
*{{Cite journal
|first1=Siméon-Denis
|last1=Poisson
|authorlink1=シメオン・ドニ・ポアソン
|title=Mémoire sur la variation des constantes arbitraires dans les questions de Mécanique
|journal=Journal de l'École polytechnique, 15e cahier
|year=1809
|volume=8
|page=266-344
|url=https://math.huji.ac.il/~piz/documents-others/SDP-1809.pdf
|doi=
|ref=poisson1809}}
*{{Cite journal
|first1=Charles-Michel
|last1=Marle
|authorlink1=:en:Charles-Michel Marle
|title=The Inception of Symplectic Geometry: the Works of Lagrange and Poisson During the Years 1808-1810
|journal=Letters in Mathematical Physics
|year=2009
|volume=90
|page=3-21
|doi=10.1007/s11005-009-0347-y
|arxiv=arXiv:0902.0685
|ref=marle2009}}

===書籍===
*{{Cite book |和書
|title=解析力学
|author1=並木美喜雄
|authorlink1=並木美喜雄
|series=パリティ物理学コース
|publisher=丸善出版
|year=1991
|isbn=978-4621036372
|ref=namoki1991}}
*{{Cite book |和書
|title=常微分方程式と解析力学
|author1=伊藤秀一
|authorlink1=伊藤秀一
|series= 共立講座 21世紀の数学
|publisher=共立出版
|year=1998
|isbn=978-4320015630
|ref=ito1998}}
*{{Cite book |和書
|title=解析力学
|author1=畑浩之
|authorlink1=畑浩之
|author2=植松恒夫 (編集)
|authorlink2=植松恒夫
|author3 =青山秀明 (編集)
|authorlink3=青山秀明
|author4= 益川敏英 (監修)
|authorlink4= 益川敏英 
|series =基幹講座 物理学
|publisher=東京図書
|year=2014
|isbn=978-4489021688
|ref=hatale2014}}
*{{Cite book |和書
|title=解析力学I
|author1=山本義隆
|authorlink1=山本義隆
|author2=中村孔一
|authorlink2=中村孔一
|series=朝倉物理学大系
|publisher= 朝倉書店 
|year=1998
|isbn=978-4254136715
|ref=yamamoto_nakamura1998a}}
*{{Cite book |和書
|title=解析力学II
|author1=山本義隆
|authorlink1=山本義隆
|author2=中村孔一
|authorlink2=中村孔一
|series=朝倉物理学大系
|publisher= 朝倉書店 
|year=1998
|isbn=978-4254136722
|ref=yamamoto_nakamura1998b}}

==関連項目==
* [[解析力学]] - [[ハミルトン力学]]　
* [[量子力学]] - [[正準量子化]]
* [[シメオン・ドニ・ポアソン]]
* {{仮リンク|ラグランジュ括弧|en|Lagrange bracket}}
 
{{DEFAULTSORT:ほあそんかつこ}}
[[Category:力学]]
[[Category:ハミルトン力学]]
[[Category:量子力学]]
[[Category:数学のエポニム]]
[[Category:シメオン・ドニ・ポアソン]]
[[Category:数学に関する記事]]