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ポアンカレの回帰定理
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'''ポアンカレの回帰定理'''（ポアンカレのかいきていり、{{lang-en-short|Poincaré's recurrence theorem}}）、または単に'''回帰定理'''とは、[[アンリ・ポアンカレ]](H.Poincaré,1854-1912)により証明された[[力学系]]の定理である<ref name="理化学辞典">『岩波理化学辞典-第5版』(1998)</ref>。'''ポアンカレの再帰定理'''<ref name="解析力学1朝倉">山本、中村 (1998)</ref><ref name="物理学辞典-改訂版">『物理学辞典-改訂版』培風館(1992/05)</ref><ref name="現代物理数学ハンドブック">『現代物理数学ハンドブック』(2005)</ref>とも呼ばれる。力学系のある状態を出発点としたときに、その時間発展は出発点といくらでも近い状態に無限回戻ってくることを主張する。ポアンカレは[[天体力学]]の[[三体問題]]の研究の中でこの定理に至り、1890年に発表した<ref name ="Poincare1890">H. Poincaré, "Sur le probléme des trois corps et les équations de la dynamique," ''Acta Mathematica'', '''13''', 1890, 1-270. {{doi|10.1007/BF02392506}}</ref><ref name="藤原兵頭11章">藤原、兵頭 (1995) 11章 </ref>。 ==概要== 解析力学では[[力学系]]のひとつの[[状態]]は[[位相空間 (物理学)|相空間]](例えば質点の位置と[[運動量]]を座標とする空間)上の点で表され、その点の[[近傍]]はその状態に近い状態の集まりを表し、'''回帰定理'''はこの相空間上の力学系に関する定理である。簡単には、「力学系は、ある種の条件が満たされれば、その任意の初期状態に有限時間内にほぼ回帰する」<ref name="藤原兵頭11章"></ref>、「ほとんどすべての軌道が出発点の任意の近傍に無限回もどってくる」<ref name="理化学辞典"></ref>、「与えられた初期条件に、いくらでも近づき、かつそれを何回でも繰返すことができる」<ref name="物理学辞典-改訂版"></ref>と表現される。 ここである条件、つまり回帰定理の成り立つ条件とは、広く一般的にいえば力学系が'''保測的'''(相空間内の点集合の体積が保存されること)で、その軌道が有限領域に限られていることである<ref name="物理学辞典-改訂版"></ref>。例えばニュートン力学の成り立つ系で等エネルギー面を動く軌道(エネルギーが保存される状態の軌道)では回帰定理が成り立つ<ref name="物理学辞典-改訂版"></ref>。 回帰定理が[[孤立系]]の現象の厳密な繰り返しを示したと解釈する人もいる<ref>ピーター・コヴニー;ロジャー・ハイフィールド『時間の矢、生命の矢』草思社(1995/03) p19,70</ref>。だがこの解釈には２つの意味での誤解がある。第一に、力学系は初期状態の近傍に戻るだけであり、初期状態そのものに戻るとは限らない。第二に、近傍に戻る[[時刻]](時点)の分布は特別な場合を除けば不規則であり、一定の[[周期]]は持たない<ref name="理化学辞典"></ref>。ポアンカレが示したように[[多体問題]]の解の軌道は[[カオス理論|カオス]]になることが多く、その場合は運動が周期的繰り返しにはならないのである。 == ハミルトン力学による導入 == ポアンカレの回帰定理の主張は、[[ハミルトン力学]]における相空間上の点の時間発展を数学的に抽象化した[[測度空間]]上の[[保測変換]]の満たす性質として、定式化される<ref name="解析力学1朝倉">山本、中村 (1998)</ref><ref name="古典物理学2">大沢、湯川 (1973)</ref><ref name="エルゴード">十時 (1971)</ref>。 ハミルトン力学では、[[一般化座標]] {{math|''q''{{=}}(''q''<sub>1</sub>,…,''q<sub>n</sub>'')}} と正準共役な[[正準運動量]] {{math|''p''{{=}}(''p''<sub>1</sub>,…,''p<sub>n</sub>'')}} の組からなる正準変数 {{math|(''q'', ''p'')}} によって、系の状態が記述される。{{math|(''q'', ''p'')}} で指定される状態は相空間上の点であり、その時間発展は相空間の軌道 {{math|(''q''(''t''), ''p''(''t''))}} として、表現される。 {{math|(''q''(''t''), ''p''(''t''))}} の時間発展は、ハミルトンの[[正準方程式]] :<math> \frac{dq_i}{dt}=\frac{\partial H}{\partial p_i} </math> :<math> \frac{dp_i}{dt}=-\frac{\partial H}{\partial q_i} \quad(i=1, \cdots \,n) </math> で記述される。但し、{{math|''H''{{=}}''H''(''q'', ''p'')}} は系の[[ハミルトニアン]]である。 この時間発展によって :<math> T_t:(q(0), p(0)) \rightarrow(q(t), p(t)) </math> を与える写像 {{math|''T<sub>t</sub>''}} が定まる。写像 {{math|''T<sub>t</sub>''}} は性質 :<math>T_t\circ T_s= T_{t+s}</math> :<math>T_t\circ T_{-t}=I</math> を満たしており、その集合 {{math|{''T<sub>t</sub>''} }}は'''流れ'''（flow）と呼ばれる。[[リウヴィルの定理 (物理学)|リュービルの定理]]によれば、相空間上の[[体積要素]] :<math> dq_1 dp_1 \cdots dq_n dp_n </math> は、 {{math|{''T<sub>t</sub>''} }}による時間発展に対して、不変である。これは、{{math|{''T<sub>t</sub>''} }}が測度を不変に保つ'''保測変換'''であることを意味する。 ハミルトニアン {{math|''H''(''q'', ''p'')}} が時間に陽に依存しない場合、エネルギー {{mvar|E}} は[[保存量]]であり、軌道 {{math|(''q''(''t''), ''p''(''t''))}} は :<math> H(q,p)= E =: \operatorname{const.} </math> で与えられる相空間内の等エネルギー面 {{math|Ω<sub>''E''</sub>}} <ref>相空間の2n-1次元の超曲面をなす</ref>内に留まることとなる。この等エネルギー面 {{math|Ω<sub>''E''</sub>}} 内の領域 {{mvar|A}} の面積は、 <math> \mu(A)=\int_A \frac{d\sigma}{||\nabla H(q,p)||} </math> で与えられる。ここで、{{mvar|dσ}} は {{math|Ω<sub>''E''</sub>}} の面積要素<ref>2n-1次元の超曲面 {{math|Ω<sub>''E''</sub>}} の体積要素である。</ref>、{{math|∇''H''(''q'', ''p'')}} は[[勾配 (ベクトル解析)|勾配ベクトル]]である。すなわち、 {{math|Ω<sub>''E''</sub>}}（とその[[完全加法族]]𝔉）に[[測度]] {{mvar|μ}} が導入される。 ポアンカレの回帰定理では、{{math|Ω<sub>''E''</sub>}} の面積が有限であるという仮定 :<math> \mu(\Omega_E) < +\infty </math> が置かれる。これは、一般化座標 {{mvar|q}} や正準運動量 {{mvar|p}}が無限に増大することがないという仮定に相当する。 == 定理の数学的表現 == 集合 {{math|Ω}} に対し、𝔉を {{math|Ω}} 上の[[完全加法族]]、{{mvar|μ}} を測度とする[[測度空間]] {{math|(Ω, 𝔉, ''μ'')}} を考える。ここで {{math|Ω}} は有限 {{math|''μ''(Ω)<+∞}} であると仮定する。また、写像 {{math|''T'': Ω→Ω}} を任意の {{math|''A'' ∈ 𝔉}} について、{{math|''μ''(''T''<sup>−1</sup>(''A'')){{=}}''μ''(''A'')}} を満たす[[保測変換]]とする。{{math|''A'' ∈ 𝔉}} が {{math|''μ''(''A'')>0}} であるとすると、[[ほとんど (数学)|ほとんど至るところの]]点 {{math|''ω ''∈ ''A''}} に対し、半軌道 {{math|{''T<sup>n</sup>ω''; ''n''≥0} }} は無限回 {{mvar|A}} に戻ってくる<ref name="古典物理学2"></ref><ref name="エルゴード"></ref>。負の方の半軌道{{math|{''T<sup>n</sup>ω''; ''n''≤0} }} についても同様である。 == 証明の概略 == ===再帰性の証明=== 測度が0となる[[零集合]] {{mvar|N}} を除いて、 {{mvar|A}} の点 {{mvar|ω}} が {{mvar|A}} に再帰することを示す。{{math|''B''⊂''A''}} が {{math|''μ''(''B'')>0}} であるとする。もし任意の {{math|''ω''∈''B''}}がすべての {{math|''n''>0}} について、{{math|''T<sup>n</sup>ω''∉''A''}} であるとすると、{{math|''T<sup>n</sup>B''∩''B''{{=}}∅}} である。任意の {{math|''m''≥0}} で{{math|''T<sup>n+m</sup>B''∩''T<sup>m</sup>B''{{=}}∅}} であるから、{{math| {''T<sup>n</sup> B''} }}は互いに交わらない可算無限列である。よって、測度の[[完全加法的集合関数|完全加法性]]より :<math> \mu \left ( \bigcup_{n=0}^{\infty}T^n B \right ) =\sum_{n=0}^{\infty}\mu(T^n B) </math> である。一方、 :<math>\bigcup_{n=0}^{\infty}T^n B \subset \Omega \in \mathfrak{F}</math> より、前式の両辺は有限であるが、保測性と {{math|''μ''(''B'')>0}} の仮定により、右辺は有限性に矛盾する。ゆえに測度が0となる{{math|''N''⊂''A''}}を除いた{{math|''ω''∈''A'' \ ''N''}}に対し、ある {{math|''n''>0}} が存在し、{{math|''T<sup>n</sup>ω''∈''A''}} となる。 ===再帰が無限回であることの証明=== 前述の {{mvar|A}} の零集合 {{mvar|N}} に対し、 :<math>N_{+}=\bigcup_{n=0}^{\infty}T^n N</math> と定めると、{{math|''μ''(''N''<sub>+</sub>){{=}}0}} であるから、任意の {{math|''ω''∈''A'' \ ''N''<sub>+</sub>}}に対し、ある {{math|''n''>0}} が存在し、{{math|''T<sup>n</sup> ω''∈''A'' \ ''N''<sub>+</sub>}} となる。したがって、この論法を繰り返すことができ、{{math|''ω''∈''A'' \ ''N''<sub>+</sub>}}に対し、{{math|''T<sup>n</sup>ω''}} は無限回 {{math|''A'' \ ''N''<sub>+</sub>}} に戻ってくることがわかる。 ==熱力学との関連== {{Main|H定理|不可逆性問題}} [[ボルツマン]]は[[熱力学第二法則]]を[[原子論]]で説明することを試み、[[H定理]]を発表した。これに対して[[エルンスト・ツェルメロ]](E.Zermelo)は、1896年に'''ポアンカレの回帰定理'''を根拠とする、'''再帰パラドックス(recurrence paradox)'''を発表して批判した<ref name="藤原兵頭11章"></ref>。 == 量子力学における回帰定理 == {{Main|量子回帰定理}} 古典力学におけるポアンカレの回帰定理に対し、その量子力学版といえる量子回帰定理が存在する<ref name="Bocchieri1957">P. Bocchieri and A. Loinger,"Quantum Recurrence Theorem," ''Phys. Rev.'' '''107''', 337 (1957){{doi|10.1103/PhysRev.107.337}}</ref>。この定理によれば、離散的な[[エネルギー準位]]のみをもつ量子系は、時間発展により、初期状態のいくらでも近くに戻ってくる。 離散エネルギー準位のみを持つ量子系において、系の状態ベクトルを{{math|{{ket|ψ(''t'')}}}}で表す。このとき、任意の正の定数 {{math|ε > 0}}と任意の初期時刻{{math|''t''<sub>0</sub>}}に対し、 <math> || \,|\psi(T)\rangle-|\psi(t_0) \rangle ||< \epsilon </math> を満たす時刻 {{math|''T'' (> ''t''<sub>0</sub>)}} が存在する。但し、{{math|{{!}}{{!}}{{ket|''Ψ''}}{{!}}{{!}}}}は{{math|{{!}}{{!}}{{ket|''Ψ''}}{{!}}{{!}}<sup>2</sup>{{=}}{{bra-ket|''Ψ''|''Ψ''}}}}で与えられる[[ノルム]]である。 == 脚注 == <references /> == 参考文献 == 日本語の文献では再帰定理となっている場合と回帰定理となっている場合とがあるので注意すること。 * 新井朝雄『現代物理数学ハンドブック』朝倉書店(2005/06) ISBN 4-25-413093-7 * 大沢文夫、湯川秀樹『古典物理学II (岩波講座現代物理学の基礎 2)』岩波書店(1973) * 十時東生『エルゴード理論入門 (共立講座・現代の数学30)』 共立出版（1971） * 長倉三郎、他(編)『岩波理化学辞典-第5版』岩波書店 (1998/02) * 藤原邦男、兵頭俊夫『熱学入門―マクロからミクロへ』東京大学出版会 (1995/06) 11章 ISBN 4-13-062601-9 * 山本義隆、中村孔一『解析力学1－(朝倉物理学大系)』朝倉書店 (1998/09) ISBN 4-25-413671-4 == 関連項目 == * [[測度保存力学系]] {{DEFAULTSORT:ほあんかれのかいきていり}} [[Category:力学系の定理]] [[Category:物理学の定理]] [[Category:数学のエポニム]] [[Category:物理学のエポニム]] [[Category:アンリ・ポアンカレ]] [[Category:数学に関する記事]]
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