ポッホハマー記号のソースを表示

[[解析学]]における'''ポッホハマー記号'''（ポッホハマーきごう、{{lang-en-short|''Pochhammer symbol''}}）は{{仮リンク|レオ・オーギュスト・ポッホハマー|en|Leo August Pochhammer}}の名に因む[[特殊函数]]{{refnest|group="*"|ポッホハマー自身は {{math|(''x''){{sub|''n''}}}} を[[二項係数]]に用い、降冪は {{math|[''x'']{{sub|''n''}}}}、昇冪は {{math|[''x'']{{su|b=''n''|p=+}}}} で表した。{{harv|Pochhammer|1888|pp=80–81}}}}で、[[組合せ論]]および[[超幾何級数]]論にも応用を持つ。

== 記法について ==
同じ函数を表す記号だが、表記にはいくつかバリエーションがある。
* <math>x^{(n)}</math>: 組合せ論で使用
* <math>(x,n),\, (x)_{n}</math>: 解析学、特殊函数論で使用
* <math>x^{\overline{n}},\, x^{\underline{n}}</math>: (その他の記法)

[[複素数]] {{mvar|x}} と[[正整数]] {{mvar|n}} に対して、特殊函数論では {{math|(''x''){{sub|''n''}}}} を[[階乗冪|昇冪]]<ref group="*">{{MathWorld|title=Rising Power|urlname=RisingPower}}</ref>
: <math>(x)_n = \prod_{j=0}^{n-1} (x+j) = x(x+1)(x+2)\dotsb(x+n-1)</math>
を表すのに用いるが、組合せ論では {{math|(''x''){{sub|''n''}}}} を降冪<ref group="*">{{MathWorld|title=Falling Power|urlname=FallingPower}}</ref>
: <math>(x)_n = \prod_{j=0}^{n-1} (x-j) = x(x-1)(x-2)\dotsb(x-n+1)</math>
として用いる。混乱を避けるため、昇冪を {{math|(''x''){{sup|''n''}}}}, 降冪を {{math|(''x''){{sub|''n''}}}} でそれぞれ表すこともよく行われる<ref group="*">それほど一般的ではないが昇冪を {{math|(''x'')<sup>+</sup><sub>''n''</sub>}} と書くこともある。このとき混乱を避けるため、降冪は {{math|(''x'')<sup>&ndash;</sup><sub>''n''</sub>}} と書いて区別するのが典型的である。{{harv|Knuth|1992|p=414}}</ref>。さらに {{Harvtxt|グラハム|クヌース|パタシュニク|2020|pp=48-49, 64}} は全く別の冪乗に似た記号を用いる。
: <math>\begin{align}
x^{\overline{n}} &=x(x+1)(x+2)\cdots(x+n-1), \\
x^{\underline{n}} &=x(x-1)(x-2)\cdots(x-n+1).
\end{align}</math>
[[差分学]]における降冪は[[微分学]]における[[冪函数|冪]]の類似対応物である。
[[ガンマ関数]]Γを用いると
: <math>\begin{align}
x^{\overline{n}} &= \frac{\Gamma(x+n)}{\Gamma(x)}, \\
x^{\underline{n}} &=  \frac{\Gamma(x+1)}{\Gamma(x-n+1)}
\end{align}</math>
となる（ただしガンマ関数の引数が非正整数でない場合）。さらに ''x'' が正整数のときは[[階乗]]を用いて
:<math>\begin{align}
x^{\overline{n}} &= \frac{(x+n-1)!}{(x-1)!}, \\
x^{\underline{n}} &= \frac{x!}{(x-n)!} \quad (x \ge n)
\end{align}</math>

== 性質 ==
[[file:Pochhammer.svg|thumb|各 {{mvar|n}} に対するポッホハマー記号 {{math|(''x'', ''n'')}} のグラフ]]
* ポッホハマー記号 {{math|(''x'', ''n'')}} は[[複素数|複素変数]] {{mvar|x}} に関して[[有理型函数]]である。
* 任意の自然数 {{math|''n'' &isin; '''N'''}} に対して {{math|(''x'', ''n'')}} は {{mvar|x}} の多項式であり、{{math|1= ''x'' = 0}} を共通根に持つ。
* 変数 {{mvar|x}} の符号を反転するとき
*:<math>(-z,n) = (-1)^n(z-n+1,\,n).</math>
* 径数 {{mvar|n}} の符号を[[反数|反転]]するとき、以下の関係式が成り立つ:
*: <math>(x,-n) = (-1)^n \frac{1}{(1-x,n)}.</math>
* <math>(z,\,n+m) = (z,n)(z+n,\,m)</math>
* 商の法則:
*:<math>\frac{(x,n)}{(x,m)} = \begin{cases}
 (x+m,\, n-m) & (n>m),\\[5pt]
 \dfrac{1}{(x+m,\, m-n)} & (m>n).
\end{cases}</math>
* 特殊値:
*: <math>(1, n) = n!\quad (n\in\mathbb{N}).</math>
*: <math>(1/2, n) = 2^{-n} (2n-1)!!\quad (n\in\mathbb{N}).</math>
* 二項係数との間に以下の関係がある:
*:<math>{z\choose n} = \frac{(-z)_n}{n!}.</math>

== 応用 ==
ポッホハマー記号は函数の冪級数展開を表すのに用いられる。いくつか例を挙げれば、
# ニュートンの[[二項級数]]:
#: <math>(1-z)^a = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-a)_k}{k!}\,z^k\qquad(|z|<1).</math>
# [[超幾何函数]]:
#:<math>{}_2F_1\left(\begin{matrix}a,b\\[-3pt]c\end{matrix}\;;\;z\right) = \sum_{k=0}^\infty\frac{(a)_k(b)_k}{(c)_k k!}\,z^k.</math>

== 一般化 ==
=== {{mvar|q}}-類似 ===
{{main|qポッホハマー記号}}
ポッホハマー記号の[[q類似| {{mvar|q}}-類似]]に[[qポッホハマー記号| {{mvar|q}}-ポッホハマー記号]]がある。これは
:<math>(a;q)_0 := 1,\quad (a;q)_n := \prod_{k=0}^{n-1} (1-aq^k)=(1-a)(1-aq)(1-aq^2)\cdots(1-aq^{n-1})</math>

で定義される。

=== 多重ポッホハマー記号 ===
{{main|{{仮リンク|一般化ポッホハマー記号|en|Generalized Pochhammer symbol}}}}
多重指数に対するポッホハマー記号を以下のように定めることができる:
:<math>(a)^{(\alpha )}_\kappa:=\prod_{i=1}^m \prod_{j=1}^{\kappa_i}
\left(a-\frac{i-1}{\alpha}+j-1\right)\quad (\kappa=\kappa_1+\kappa_2+\dotsb+\kappa_m,\,\alpha>0).
</math>

== 注釈 ==
{{reflist|group="*"}}
== 参考文献 ==
<references />
* {{cite journal | first= L. | last= Pochhammer | url=http://www.digizeitschriften.de/dms/resolveppn/?PPN=GDZPPN002160536 | title= Ueber die Differentialgleichung der allgemeineren hypergeometrischen Reihe mit zwei endlichen singulären Punkten | journal= Journal für die reine und angewandte Mathematik | volume= 102 | pp=76–159 | year= 1888}}
* {{citation | first1= Ronald L. | last1= Graham | author-link=ロナルド・グラハム | first2= Donald E. | last2= Knuth | author2-link=ドナルド・クヌース | first3= Oren | last3= Patashnik | author3-link =オーレン・パタシュニク |year=1988 | title=[[Concrete Mathematics|Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science]] | publisher= Addison-Wesley}}
**{{cite book|和書| last1=Graham | first1=Ronald L. | authorlink1=ロナルド・グラハム | last2=Knuth | first2=Donald E. | authorlink2=ドナルド・クヌース | last3=Patashnik|first3=Oren| authorlink3=オーレン・パタシュニク | translator= 有澤誠・安村通晃・萩野達也・石畑清 | title = コンピュータの数学 | publisher = 共立出版 | isbn = 978-4-320-02668-1|date=1993-09|ref={{Harvid|グラハム|クヌース|パタシュニク|1993}} }}
**{{cite book|和書| last1=Graham | first1=Ronald L. | authorlink1=ロナルド・グラハム | last2=Knuth | first2=Donald E. | authorlink2=ドナルド・クヌース | last3=Patashnik|first3=Oren| authorlink3=オーレン・パタシュニク | translator= 有澤誠・安村通晃・萩野達也・石畑清 | title = コンピュータの数学 | edition = 第2版 | publisher = 共立出版 | isbn = 978-4-320-12464-6|date=2020-09|ref={{Harvid|グラハム|クヌース|パタシュニク|2020}} }}
* {{cite book | author= Seaborn, James B. | title= Hypergeometric Functions and their applications | year= 1991 | publisher= Springer Verlag | location= New York | isbn= 0-387-97558-6}}
* {{citation | last=Knuth | first=Donald E. | year=1992 | title=Two notes on notation | journal=American Mathematical Monthly | volume=99 | issue=5 | pages=403–422 | doi=10.2307/2325085 | jstor=2325085 |arxiv=math/9205211}}

== 外部リンク ==
* {{MathWorld | title= Pochhammer Symbol | urlname= PochhammerSymbol}}

{{DEFAULTSORT:ほつほはまあきこう}}
[[Category:エポニム]]
[[Category:組合せ論]]
[[Category:特殊関数]]
[[Category:数学に関する記事]]