ポンスレの閉形定理のソースを表示

[[ファイル:PonceletPorism.gif|右|サムネイル| ''n''&nbsp;=&nbsp;3におけるポンスレの閉形定理。2円にそれぞれ内接、外接する三角形は無数にある。]]
[[幾何学]]において、'''ポンスレの閉形定理'''（ポンスレのへいけいていり、{{Lang-en-short|Poncelet's closure theorem, Poncelet's porism}}）または単に'''ポンスレの定理'''は、二つの[[円錐曲線]]にそれぞれ{{仮リンク|外接 (円)|en|Circumscribed circle|label=外接}}、 [[内接図形|内接]]する[[多角形]]が1つでも存在すれば、そのような多角形は無数に存在するという定理である<ref>{{Cite journal|last=King, Jonathan L.|year=1994|title=Three problems in search of a measure|url=http://www.maa.org/programs/maa-awards/writing-awards/three-problems-in-search-of-a-measure-0|journal=Amer. Math. Monthly|volume=101|pages=609–628|doi=10.2307/2974690}}</ref><ref>{{Cite web |title=Poncelet's Porism |url=https://mathworld.wolfram.com/PonceletsPorism.html |website=mathworld.wolfram.com |access-date=2024-07-10 |language=en |first=Eric W. |last=Weisstein}}</ref><ref>{{Cite journal|last=有賀|first=雅雪|last2=アルガ|first2=マサユキ|date=2013-07-01|title=ポンスレの定理について|url=https://chuo-u.repo.nii.ac.jp/records/5698|language=ja}}</ref><ref>{{Cite journal|last=Komori|first=Yohei|last2=小森|first2=洋平|date=2014-03-25|title=ポンスレの定理について|url=https://waseda.repo.nii.ac.jp/records/11238|language=ja}}</ref><ref>{{Cite journal|author=Arthur Holshouser, Stanislav Molchanov, and Harold Reiter|year=2016|title=Applying Poncelet’s Theorem to the Pentagon  and the Pentagonal Star|url=https://web.archive.org/web/20221206154929/https://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201619.pdf|journal=[[Forum Geometricorum]]|volume=16|pages=141-149}}</ref><ref>{{Cite journal|author=Arthur Holshouser, Stanislav Molchanov, and Harold Reiter|year=2026|title=ASpecial Case of Poncelet’s Problem|url=https://web.archive.org/web/20221205190148/https://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201620.pdf|journal=[[Forum Geometricorum]]|volume=16|pages=151–170}}</ref>。1746年、[[ウィリアム・チャップル (測量士)|ウィリアム・チャップル]] が三角形の場合を証明し、1822年、[[ジャン＝ヴィクトル・ポンスレ|ポンスレ]]が一般の場合を解決した<ref>{{Cite book |last=Poncelet |first=Jean-Victor |url=https://archive.org/details/traitdespropri01poncuoft/page/n486/mode/1up |title=Traité des propriétés projectives des figures; ouvrage utile à ceux qui s'occupent des applications de la géométrie descriptive et d'opérations géométriques sur le terrain |publisher=Gauthier-Villars |year=1865 |edition=2nd |location=Paris |pages=311-317 |language=fr |origdate=1st. ed. 1822}}</ref><ref>{{Citation|title=Poncelet's porism: a long story of renewed discoveries, I|last=Del Centina|first=Andrea|year=2016|journal=[[Archive for History of Exact Sciences]]|volume=70|issue=1|pages=1–122|doi=10.1007/s00407-015-0163-y|mr=3437893}}</ref><ref>{{Cite web |title=FG200102index |url=https://web.archive.org/web/20230127215304/https://forumgeom.fau.edu/FG2001volume1/FG200120index.html |website=web.archive.org |date=2023-01-27 |access-date=2024-07-11}}</ref>。

== 主張 ==
{{Mvar|C,D}}を二つの円錐曲線とする。3以上の[[整数]]{{Mvar|n}}について、ある[[n角形]]が{{Mvar|C}}に外接する（多角形の[[頂点]]すべてが{{Mvar|C}}上にある）かつ{{Mvar|D}}に内接する（多角形の[[辺]]すべてが''{{Mvar|D}}''と[[接する]]）ならば、同様に{{Mvar|C}}に外接し{{Mvar|D}}に内接する{{Mvar|n}}角形を無数に見つけることができる<ref>{{Cite journal|author=Mirko Radi´c|year=2004|title=Extreme Areas of Triangles in Poncelet’s Closure Theorem|url=https://web.archive.org/web/20240516134333/https://forumgeom.fau.edu/FG2004volume4/FG200403.pdf|journal=[[Forum Geometricorum]]|volume=4|pages=23–26}}</ref>。{{Mvar|C}}または''{{Mvar|D}}''上の任意の点はそのような多角形の接点になり得る。 

{{Mvar|C,D}}がともに[[円 (数学)|円]]ならばこの多角形は[[双心多角形]]と呼ばれる。双心多角形はPoncelet's porismの一部である<ref>{{Cite book |title=Advanced Euclidean Geometry |url=https://books.google.co.jp/books/about/Advanced_Euclidean_Geometry.html?id=559e2AVvrvYC&redir_esc=y |publisher=Courier Corporation |date=2013-01-08 |isbn=978-0-486-15498-5 |language=en |first=Roger A. |last=Johnson}}</ref>{{Rp|p. 94}}。 

== 証明の概要 ==
{{Mvar|C,D}}を{{仮リンク|複素射影平面|en|complex projective plane}} '''P'''<sup>2</sup>上の曲線として見る。簡単のため、{{Mvar|C,D}}は単純な交点を持つとする（[[非特異]]で{{仮リンク|一般の位置|en|General position}}にある）。このとき[[ベズーの定理]]より{{Mvar|C,D}}の交点は4つ存在する。点''{{Mvar|c}}''を通る''{{Mvar|D}}''の接線{{Mvar|ℓ{{sub|d}}}}の接点を''{{Mvar|d}}''、{{Math|(''c'',''d'')}}をもつ{{Math|''C''×''D''}}の部分[[代数多様体]]を{{Mvar|X}}をとする。{{Math|''c''∈''C''∩''D''}}ならば''{{Mvar|d}}''は1つ、でなければ2つ存在する。したがって[[射影多様体|射影]]{{Math|''X'' → ''C'' ≃ ''' ''P'''''{{sup|1}}}}は、{{Mvar|X}}を4点以上で[[分岐 (数学)|分岐]]した位数2の[[自己同型]]で表す。つまり{{Mvar|X}}は[[楕円曲線]]である。   {{Math|(''c'',''d'')}}を同一座標上の点{{Math|(''c'',''d' '')}}へ移す{{Mvar|X}}の[[対合]]を<math>\sigma</math>とする。[[不動点]]をもつ楕円曲線の対合は、[[群 (数学)|群]]として、{{Math|''x''→''p'' - ''x''}}と表現されるので、<math>\sigma</math>もこの形式となる。同様に射影{{Math|''X'' → ''D''}}も、{{Mvar|C,D}}の4つの共通[[接線]]と{{Mvar|D}}の接点で分岐した[[位数 (群論)|位数]]2の自己同型であり、対合<math>\tau</math>は{{Math|''x''→''q'' - ''x''}}と一致する。したがって[[合成写像]]<math>\tau \sigma</math>は{{Mvar|X}}への変換を表す。<math>\tau \sigma</math>のべきが不動点を持つならば、そのべきはその点で[[恒等写像]]である必要がある。{{Mvar|C,D}}に言い換えると、（対応する''{{Mvar|d}}''の存在する）ある点{{Math|''c''∈''C''}}が閉じた[[群作用|軌道]]をつくる（つまりn角形を作る）ならば、すべての点が不動であるということである。{{Mvar|C,D}}が退化した場合は極限を取ることで導かれる。

== 空間への拡張 ==
1880年、[[アドルフ・フルヴィッツ|フルヴィッツ]]（Hurwitz）は次のように空間へ一般化した<ref>{{Cite journal|journal=[[Mathematische Annalen]]|year=1879|title=Über unendlich vieldeutige geometrische Aufgaben, insbesondere die Schließungsprobleme|volume=15|pages=8-15|last=Hurwitz|first=A.|url=https://www.digizeitschriften.de/id/235181684_0015%7Clog1?tify=%7B%22pages%22%3A%5B14%5D%2C%22view%22%3A%22%22%7D}}</ref><ref>{{Cite book|和書 |title=初等幾何学特選問題 |publisher=[[共立社書店]] |year=1932 |page=85-94 |author=窪田忠彦 |author-link=窪田忠彦 |id={{NDLJP|1211458}}}}</ref>。

:2つの空間[[三次曲線]]にそれぞれ内接・外接するような四面体が、2つでもあれば、そのような[[四面体]]は無数に存在する。

他に1901,1904年に[[ジョルジュ・フォントネー|フォントネー]]に論じられ<ref>{{Cite journal|last=Fontené|first=G.|date=1901|title=Tétraèdres variables liés à des quadriques et à des cubiques gauches|url=http://www.numdam.org/item/NAM_1901_4_1__10_0/|journal=[[Nouvelles annales de mathématiques]]|volume=1|pages=10–14|language=fr|issn=2400-4782}}</ref><ref>{{Cite journal|last=Fontené|first=G.|date=1904|title=Sur l'extension du théorème des polygones de Poncelet à l'espace, par des polyèdres de genre un|url=http://www.numdam.org/item/NAM_1904_4_4__433_0/|journal=Nouvelles annales de mathématiques|volume=4|pages=433–439|language=fr}}</ref>、1928年に[[ヴィルヘルム・フランツ・マイヤー|フランツ・マイヤー]]（Franz Meyer）に双対を証明された、次のようなものもある<ref>{{Cite journal|journal=Mitteilungen der Mathematischen Gesellschaft in Hamburg|year=1928|title=Über ein Schließungsproblem des Raumes|volume=6|pages=352-374|last=Meyer|first=Wilhelm Franz}}</ref>。

:与えられた空間三次曲線に内接し、二次曲面に外接する四面体は、一般に1つ存在し、2つ存在するならば、そのような四面体は無数に存在する。
フォントネーや[[ラウル・ブリカール|ブリカール]]は[[八面体]]や[[二十面体]]への拡張にも言及している<ref>{{Cite journal|last=Fontené|first=G.|date=1904|title=Tétraèdres, octaèdres, icosaèdres inscrits à une cubique gauche et circonscrits à une quadrique|url=http://www.numdam.org/item/NAM_1904_4_4__289_0/|journal=Nouvelles annales de mathématiques|volume=4|pages=289–309|language=fr}}</ref><ref>{{Cite journal|last=Bricard|first=R.|date=1904|title=Sur l'extension à l'espace du théorème de Poncelet|url=http://www.numdam.org/item/NAM_1904_4_4__554_1/|journal=Nouvelles annales de mathématiques|volume=4|pages=554–558|language=fr}}</ref>
。

== 関連 ==

* {{仮リンク|Finding Ellipses|en|Finding Ellipses}}
* {{仮リンク|ハーツホーン楕円|en|Hartshorne ellipse}}
* [[シュタイナーの円鎖|シュタイナー円鎖]]
* {{仮リンク|円の接線|en|Tangent lines to circles}}
* [[イーガン予想]]

== 出典 ==
<references responsive="1"></references>


* Bos, H. J. M.; Kers, C.; Oort, F.; Raven, D. W. "Poncelet's closure theorem". ''Expositiones Mathematicae'' '''5''' (1987), no.&nbsp;4, 289–364.

== 外部リンク ==

* [http://sbseminar.wordpress.com/2007/07/16/poncelets-porism/ David Speyer on Poncelet's Porism]
* D. Fuchs, S. Tabachnikov, ''Mathematical Omnibus: Thirty Lectures on Classic Mathematics''
* [https://www.geogebra.org/m/TqXB8SvT Interactive applet] by Michael Borcherds showing the cases ''n''&nbsp;=&nbsp;3,&nbsp;4,&nbsp;5,&nbsp;6,&nbsp;7,&nbsp;8 (including the convex cases for ''n''&nbsp;=&nbsp;7,&nbsp;8) made using [http://www.geogebra.org/ GeoGebra].
* [https://www.geogebra.org/m/c4gASMe9 Interactive applet] by Michael Borcherds showing Poncelet's Porism for a general Ellipse and a Parabola made using [http://www.geogebra.org/ GeoGebra].
* [https://www.geogebra.org/m/atyekCHB Interactive applet] by Michael Borcherds showing Poncelet's Porism for 2 general ellipses (order 3) made using [http://www.geogebra.org/ GeoGebra].
* [https://www.geogebra.org/m/mkW2vCez Interactive applet] by Michael Borcherds showing Poncelet's Porism for 2 general ellipses (order 5) made using [http://www.geogebra.org/ GeoGebra].
* [https://www.geogebra.org/m/WYd5CExw Interactive applet] by Michael Borcherds showing Poncelet's Porism for 2 general ellipses (order 6) made using [http://www.geogebra.org/ GeoGebra].
* [https://web.archive.org/web/20080830023948/http://poncelet.math.nthu.edu.tw/disk3/cabrijava/poncelet3-exterior2.html Java applet] showing the exterior case for n = 3 at National Tsing Hua University.
* [http://mathworld.wolfram.com/PonceletsPorism.html Article on Poncelet's Porism] at Mathworld.
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