マクローリンの不等式のソースを表示

'''マクローリンの不等式'''（マクローリンのふとうしき、英: ''Maclaurin's inequality''）は 、{{仮リンク|相加相乗平均の不等式|en|Inequality of arithmetic and geometric means}}を改良した[[不等式]]。[[コリン・マクローリン|マクローリン]]の名をとって命名された。

== 定義 ==
{{math2|''a''{{sub|1}}, ''a''{{sub|2}}, …, ''a{{sub|n}}''}} を[[符号 (数学)|正の]][[実数]]とし、{{math2|1=''k'' = 1, 2, …, ''n''}} に対して[[平均]] {{mvar|S{{sub|k}}}} を次で定義する：
:<math>S_k = \frac{\textstyle\sum\limits_{1\leq i_1 < \cdots < i_k \leq n} a_{i_1} a_{i_2} \cdots a_{i_k}}{\displaystyle {n \choose k}}.</math>
分子は、{{mvar|n}}個の変数 {{math2|''a''{{sub|1}}, ''a''{{sub|2}}, …, ''a{{sub|n}}''}} を用いて作られる {{mvar|k}}次の[[基本対称式]]である。つまり変数 {{math2|''a''{{sub|1}}, ''a''{{sub|2}}, …, ''a{{sub|n}}''}} の[[冪指数|指数]]の合計が {{mvar|k}} であり、変数が添字の昇順に並ぶようなものである。一方、分母は[[二項係数]] <math>\scriptstyle {n\choose k}</math> で、各 {{mvar|k}} に対する分子の基本対称式の項数を表す。

マクローリンの不等式はこの {{mvar|S{{sub|k}}}} に関するもので、以下の不等式で与えられる：
:<math>S_1 \geq \sqrt{S_2} \geq \sqrt[3]{S_3} \geq \cdots \geq \sqrt[n]{S_n}</math>
[[等号]]が成立するのは、全ての {{mvar|a{{sub|i}}}} が等しいときで、しかもその時に限る。

== 例 ==
{{math2|1=''n'' = 2}} のときには、マクローリンの不等式は2変数に対する相加相乗平均の不等式になる。 マクローリンの不等式が具体的にどのような不等式を与えるかが分かりやすい例として、{{math2|1=''n'' = 4}} の場合を挙げる:
: <math>\begin{align}
&\quad \frac{a_1+a_2+a_3+a_4}{4} \\[8pt]
&\ge \sqrt{\frac{a_1a_2+a_1a_3+a_1a_4+a_2a_3+a_2a_4+a_3a_4}{6}} \\[8pt]
&\ge \sqrt[3]{\frac{a_1a_2a_3+a_1a_2a_4+a_1a_3a_4+a_2a_3a_4}{4}} \\[8pt]
&\ge \sqrt[4]{a_1a_2a_3a_4}.
\end{align}</math>
マクローリンの不等式は、[[ニュートンの不等式]]を用いて証明することができる。

== 関連項目 ==
* {{仮リンク|ムーアヘッドの不等式|en|Muirhead's inequality}}
* {{仮リンク|一般化平均の不等式|en|Generalized mean inequality}}

== 参考文献 ==
* {{Cite book|last=Biler|first=Piotr|title=Problems in mathematical analysis|date=1990|publisher=New York, N.Y.: M. Dekker|isbn=0-8247-8312-3|last2=Witkowski, Alfred|author2=Witkowski, Alfred}}

== 外部リンク ==
* {{高校数学の美しい物語|1339|対称式に関するマクローリンの不等式}}

{{Planetmath|title=MacLaurin's Inequality|id=3835}}
{{DEFAULTSORT:まくろおりんのふとうしき}}
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:不等式]]
[[Category:実解析]]