マクローリンの不等式

マクローリンの不等式（マクローリンのふとうしき、英: Maclaurin's inequality）は、テンプレート:仮リンクを改良した不等式。マクローリンの名をとって命名された。

定義

S_{k} = \frac{\sum_{1 \leq i_{1} < \dots < i_{k} \leq n} a_{i_{1}} a_{i_{2}} \dots a_{i_{k}}}{(\binom{n}{k})} .

分子は、テンプレート:Mvar個の変数テンプレート:Math2 を用いて作られるテンプレート:Mvar次の基本対称式である。つまり変数テンプレート:Math2 の指数の合計がテンプレート:Mvar であり、変数が添字の昇順に並ぶようなものである。一方、分母は二項係数 $(\binom{n}{k})$ で、各テンプレート:Mvar に対する分子の基本対称式の項数を表す。

マクローリンの不等式はこのテンプレート:Mvar に関するもので、以下の不等式で与えられる：

S_{1} \geq \sqrt{S_{2}} \geq \sqrt[3]{S_{3}} \geq \dots \geq \sqrt[n]{S_{n}}

等号が成立するのは、全てのテンプレート:Mvar が等しいときで、しかもその時に限る。

テンプレート:Math2 のときには、マクローリンの不等式は2変数に対する相加相乗平均の不等式になる。マクローリンの不等式が具体的にどのような不等式を与えるかが分かりやすい例として、テンプレート:Math2 の場合を挙げる:

\begin{matrix} \frac{a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4}}{4} \\ \geq \sqrt{\frac{a_{1} a_{2} + a_{1} a_{3} + a_{1} a_{4} + a_{2} a_{3} + a_{2} a_{4} + a_{3} a_{4}}{6}} \\ \geq \sqrt[3]{\frac{a_{1} a_{2} a_{3} + a_{1} a_{2} a_{4} + a_{1} a_{3} a_{4} + a_{2} a_{3} a_{4}}{4}} \\ \geq \sqrt[4]{a_{1} a_{2} a_{3} a_{4}} . \end{matrix}

マクローリンの不等式は、ニュートンの不等式を用いて証明することができる。