マッカイグラフのソースを表示

{{専門的|date=2020年3月28日 (土) 11:48 (UTC)}}
'''マッカイグラフ'''（{{lang-en-short|McKay graph}}）とは、[[有限群]] {{mvar|G}} と有限次元複素線型[[群の表現|表現]] {{mvar|V}} から定まる[[箙 (数学)|箙]]であり、{{mvar|G}} の{{仮リンク|表現環|en|Representation ring}}の構造に関連する情報を表している。箙の各頂点は {{mvar|G}} の[[既約指標]] {{math|''&chi;''{{sub|1}}}}, &hellip;, {{math|''&chi;''{{sub|''k''}}}} に対応し、{{mvar|d}} 次元表現 {{mvar|V}} の指標 {{math|''&chi;''}} との[[テンソル積]] {{math|''&chi;'' &otimes; ''&chi;''{{sub|''i''}}}} が
:<math> \chi \otimes \chi_i = \sum_j n_{ij} \, \chi_j</math>
と分解されるとき、頂点 {{math|''&chi;''{{sub|''i''}}}} から {{math|''&chi;''{{sub|''i''}}}} へ {{math|''n''{{sub|''ij''}}}} 本の矢を描く{{sfn|McKay|1980}}。
[[一般線型群]] {{math|GL(2, '''C''')}} の有限部分群 {{mvar|H}} に対して、 {{mvar|H}} のマッカイグラフとは {{mvar|H}} の自然表現のマッカイグラフを指す。

表現 {{mvar|V}} の[[カルタン行列]] {{math|''C''}} は {{math|''C'' {{=}} ''d&thinsp;I'' &minus; ''A''}} と定義される。ここで {{mvar|I}} は {{mvar|k}} 次単位行列であり、{{mvar|A}} は[[隣接行列]] {{math|(''n''{{sub|''ij''}})}} である。{{mvar|g}} が {{mvar|G}} の元ならベクトル {{math|((''&chi;''{{sub|''i''}}(''g''))}} はカルタン行列 {{mvar|C}} の[[固有値]] {{math|''d'' &minus; ''&chi;''(''g'')}} に対応する[[固有ベクトル]]である。

{{仮リンク|ジョン・マッカイ|en|John McKay (mathematics)}}（{{lang|en|John McKay}}）に由来するマッカイ対応（{{lang|en|McKay correspondence}}）とは、[[特殊線型群]] {{math|SL(2, '''C''')}} の有限部分群のマッカイグラフと拡張[[ディンキン図形]]との間に一対一の対応があることを述べたものである。この関係は、単純[[リー代数]]の {{仮リンク|ADE分類|en|ADE classification}}に現れる。

==定義==
''G''を有限群とし、''V''を''G''の[[群の表現|表現]]とする。<math> \chi </math> をその指標とする。<math>\{\chi_1,\ldots,\chi_k\}</math>を''G''の既約表現とする。

:<math>	\chi\otimes\chi_i = \sum_j n_{ij} \, \chi_j,</math>

であるとき、''G''のマッカイグラフ<math>\Gamma_G</math>を次のように定義する:

* ''G''の各既約表現は<math>\Gamma_G</math>の頂点に対応する。
* ''n<sub>ij</sub>'' > 0であるとき、<math>\chi_i</math>から<math>\chi_j</math>へ有向辺を張る。そして、その辺の重みは''n<sub>ij</sub>''とする: <math>\chi_i\xrightarrow{n_{ij}}\chi_j</math>.
* もし ''n<sub>ij</sub>'' = ''n<sub>ji</sub>''である場合<math> \chi_i </math> と <math> \chi_j </math>に、矢印の代わりに辺を張る。加えて、もし''n<sub>ij</sub>'' = 1であれば、 対応する辺に重みは書かない。

''n<sub>ij</sub>''は内積を考えることにより計算できる。以下の式が成り立つ:  

:<math>n_{ij} = \langle \chi\otimes\chi_i, \chi_j\rangle = \frac{1}{|G|}\sum_{g\in G} \chi(g)\chi_i(g)\overline{\chi_j(g)},</math>

ここで、<math>\langle \cdot, \cdot \rangle</math>は[[指標 (数学)|指標]]たちの[[内積]] である。

GL(2, '''C''')の有限部分群のマッカイグラフは、そのカノニカルな表現のマッカイグラフとして定義される。 

SL(2, '''C''')の有限部分群については、カノニカルな表現は自己双対であり、従って''n<sub>ij</sub>'' = ''n<sub>ji</sub>''が任意の''i'',''j''について成り立つ。故に、SL(2, '''C''')の有限部分群のマッカイグラフは無向グラフとなる。 

実は、マッカイ対応により、SL(2, '''C''')の有限部分群と拡張コクセター・ディンキン図形の間にA-D-E型の一対一対応関係がある。 

''V''のカルタン行列''C''を次のように定義する: 

:<math>C = (d\delta_{ij} - n_{ij})_{ij},</math>

ここで<math> \delta_{ij} </math>は[[クロネッカーのデルタ]]である。

==いくつかの結果==
* 有限群 ''G'' の表現 ''V'' が[[忠実表現|忠実]]であるのは、''V'' のマッカイグラフは連結であるとき、かつそのときに限る{{sfn|McKay|1980|loc=Proposition 1}}。
* SL(2, '''C''')の有限部分群のマッカイグラフは自己ループをもたない。すなわち、''n<sub>ii</sub>'' = 0が全ての''i''について成り立つ。
* SL(2, '''C''')の有限部分群のマッカイグラフの有向辺の重みは常に1かそれより小さい。

==例==
*''G'' = ''A'' × ''B''とし、''A''と''B''のカノニカルな既約表現''c<sub>A</sub>''と''c<sub>B</sub>''があるとする。<math>\chi_i</math>, ''i'' = 1, ..., ''k''が''A''の既約表現で、<math>\psi_j</math>, ''j'' = 1, ..., ''ℓ''が''B''の既約表現であるとしたとき、

:: <math>\chi_i\times\psi_j\quad 1\leq i \leq k,\,\, 1\leq j \leq \ell</math>

: は<math>A\times B</math>の既約表現で、<math>\chi_i\times\psi_j(a,b) = \chi_i(a)\psi_j(b), (a,b)\in A\times B</math>である。この場合、以下が成り立つ。 

::<math>\langle (c_A\times c_B)\otimes (\chi_i\times\psi_\ell), \chi_n\times\psi_p\rangle = \langle c_A\otimes \chi_k, \chi_n\rangle\cdot \langle c_B\otimes \psi_\ell, \psi_p\rangle.</math>

: 故に、''G''のマッカイグラフの<math>\chi_i\times\psi_j</math>と <math>\chi_k\times\psi_\ell</math>に辺があるのは、 ''A''のマッカイグラフの<math>\chi_i</math>と<math>\chi_k</math>に辺があり、かつ''B''のマッカイグラフの<math>\psi_j</math>と<math>\psi_\ell</math>の間に辺があるときに限る。このとき、''G''のマッカイグラフの辺の重みはAとBのマッカイグラフの対応する辺の重みの積となる。

* [[フェリックス・クライン]]は、SL(2, '''C''')の有限部分群が二項正多面体群であることを示した。マッカイ対応は、この二項多面体群のマッカイグラフと拡張ディンキン図形の間に一対一の対応があることを述べている。例えば、<math>\overline{T}</math>{{仮リンク|二項四面体群|en|binary tetrahedral group}}としよう。SL(2, '''C''')の各部分群SU(2, '''C''')の各部分群と共役である。SU(2, '''C''')の行列を考えよう:

::<math>
S = \left( \begin{array}{cc}
i & 0 \\
0 & -i \end{array} \right) , 
V = \left( \begin{array}{cc}
0 & i \\
i & 0 \end{array} \right), 
U = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \begin{array}{cc}
\varepsilon & \varepsilon^3 \\
\varepsilon & \varepsilon^7 \end{array} \right),
</math>

: ここで''ε''は1の8乗根である。すると、<math>\overline{T}</math> は''S'', ''U'', ''V''により生成される。言い換えると、次が成り立つ:  

::<math>\overline{T} = \{U^k, SU^k,VU^k,SVU^k \mid k = 0,\ldots, 5\}.</math>

: <math>\overline{T}</math>の共役類は次の通り: 

:: <math>C_1 = \{U^0 = I\},</math>
:: <math>C_2 = \{U^3 = - I\},</math>
:: <math>C_3 = \{\pm S, \pm V, \pm SV\},</math>
:: <math>C_4 = \{U^2, SU^2, VU^2, SVU^2\},</math>
:: <math>C_5 = \{-U, SU, VU, SVU\},</math>
:: <math>C_6 = \{-U^2, -SU^2, -VU^2, -SVU^2\},</math>
:: <math>C_7 = \{U, -SU, -VU, -SVU\}.</math>

: <math>\overline{T}</math>の指標表は

{| class="wikitable" border="1"
! !! <math>C_1</math> !! <math>C_2</math> !! <math>C_3</math> !! <math>C_4</math> !! <math>C_5</math> !! <math>C_6</math> !! <math>C_7</math>
|-
! <math>\chi_1</math>
| <math>1</math> 
| <math>1</math>  
| <math>1</math> 
| <math>1</math> 
| <math>1</math> 
| <math>1</math> 
| <math>1</math>
|-
! <math>\chi_2</math>
| <math>1</math> 
| <math>1</math>  
| <math>1</math> 
| <math>\omega</math> 
| <math>\omega^2</math> 
| <math>\omega</math> 
| <math>\omega^2</math>
|-
! <math>\chi_3</math>
| <math>1</math> 
| <math>1</math>  
| <math>1</math> 
| <math>\omega^2</math> 
| <math>\omega</math> 
| <math>\omega^2</math> 
| <math>\omega</math>
|-
! <math>\chi_4</math>
| <math>3</math> 
| <math>3</math>  
| <math>-1</math> 
| <math>0</math> 
| <math>0</math> 
| <math>0</math> 
| <math>0</math>
|-
! <math>c</math>
| <math>2</math> 
| <math>-2</math>  
| <math>0</math> 
| <math>-1</math> 
| <math>-1</math> 
| <math>1</math> 
| <math>1</math>
|-
! <math>\chi_5</math>
| <math>2</math> 
| <math>-2</math>  
| <math>0</math> 
| <math>-\omega</math> 
| <math>-\omega^2</math> 
| <math>\omega</math> 
| <math>\omega^2</math>
|-
! <math>\chi_6</math>
| <math>2</math> 
| <math>-2</math>  
| <math>0</math> 
| <math>-\omega^2</math> 
| <math>-\omega</math> 
| <math>\omega^2</math> 
| <math>\omega</math>
|}

: ここで <math>\omega = e^{2\pi i/3}</math>である。カノニカルな表現は&nbsp;''c''によって表される。内積を考えることで、<math>\overline{T}</math>のマッカイグラフは<math>\tilde{E}_6</math>の拡張コクセター・ディンキン図形であることが分かる。

== 関連事項 ==

* {{仮リンク|ADE 関係|en|ADE classification}}
* {{仮リンク|二項四面体群|en|Binary tetrahedral group}}

== 脚注 ==
{{reflist|2}}

== 参考文献 ==

* {{citation | title = Introduction to Lie Algebras and Representation Theory |first=James E. |last=Humphreys |publisher=Springer |year = 1972 |isbn=978-0-387-90053-7 | mr = 323842 | zbl = 0254.17004 }}
* {{cite book | last1 = James | first1 = Gordon | last2 = Liebeck | first2 = Martin | title=Representations and Characters of Groups | edition = 2nd | year=2001 | publisher=Cambridge University Press | isbn=0-521-00392-X | mr = 1864147 | zbl = 0981.20004 }}
* {{Citation | first = Felix | last = Klein  | authorlink = Felix Klein| title = Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade | journal = Teubner | publisher = Leibniz | year  = 1884 | zbl = 16.0061.01 }} [https://eudml.org/doc/203220 EuDML 203220]
* {{Citation | first = John | last = McKay  | title = Graphs, singularities, and finite groups | url = {{google books|_9sDCAAAQBAJ|plainurl=yes|page=183}} | journal = Proc. Symp. Pure Math. | volume = 37 | publisher = Amer. Math. Soc. | year  = 1980 | pages = 183-186 | doi = 10.1090/pspum/037/604577 | mr = 604577 | zbl = 0451.05026 }}
* {{Citation | first1 = David | last1 = Ford | first2 = John | last2 = McKay | chapter = Representations and Coxeter Graphs | url = {{google books|XpDbBwAAQBAJ|plainurl=yes|page=548}} | title = The Geometric Vein: The Coxeter Festschrift | year = 1981 | pages = 549-554 | publisher = [[Springer-Verlag]] | location = Berlin | doi = 10.1007/978-1-4612-5648-9_36 | mr = 661802 | zbl = 0499.20004 }}
* {{Citation | first = Oswald | last = Riemenschneider | chapter = McKay correspondence for quotient surface singularities | year = 2007 |title =  Singularities in Geometry and Topology, Proceedings of the Trieste Singularity Summer School and Workshop | publisher = World Scientific | pages = 483–519 | doi = 10.1142/9789812706812_0015 | mr = 2311497 | zbl = 1124.14044 }}
* {{Citation | first = Robert | last = Steinberg | title = Finite subgroups of {{math|''SU''{{sub|2}}}}, Dynkin diagrams and affine Coxeter elements | year = 1985 |journal =  Pacific Journal of Mathematics | volume = 118 | pages = 587–598 | doi = 10.2140/pjm.1985.118.587 | mr = 789195 | zbl = 0567.20026 }}

== 外部リンク ==
* [https://ncatlab.org/nlab/show/McKay+correspondence nLab: McKay correspondence]
* [https://ncatlab.org/nlab/show/McKay+quiver nLab: McKay quiver]

{{デフォルトソート:まつかいくらふ}}

[[Category:表現論]]
[[Category:数学に関する記事]]