マッセルマンの定理のソースを表示

{{暫定記事名|date=2024-09-11}}
'''マッセルマンの定理'''（マッセルマンのていり<!-- Musselmanにはムッセルマン、ムセルマンなどの表記も存在するが、ロシア語記事やその他文献に基づき、この記事名とした。 -->、{{Lang-en-short|Musselman's theorem}}）は、[[ユークリッド幾何学]]の[[三角形]]と[[円 (数学)|円]]に関する[[定理]]。
[[ファイル:Musselman_theorem.svg|サムネイル|400x400ピクセル]]
三角形{{Mvar|T}}の頂点を{{Mvar|A,B,C}}、{{Mvar|T}}の[[鏡映三角形]]を{{Mvar|A*B*C*}}とする<ref>D. Grinberg (2003) ''[http://forumgeom.fau.edu/FG2003volume3/FG200311index.html On the Kosnita Point and the Reflection Triangle]''. [[Forum Geometricorum]], volume 3, pages 105–111</ref>。三角形の[[外心]]{{Mvar|O}}と対応する三角形の頂点を通る円、つまり円{{Mvar|AOA*,BOB*,COC*}} を描く。この円はマッセルマン円（{{Lang|en|Musselman circles}}） と呼ばれる。マッセルマンの定理によれば、3つのマッセルマン円は{{Mvar|O}}とは異なる点{{Mvar|M}}で交わる。また{{Mvar|M}}は、{{Mvar|T}}の[[九点円]]の中心の[[等角共役点]]である[[コスニタの定理|コスニタ点]]の、{{Mvar|T}}の[[外接円]]による[[反転幾何学|反転]]点である<ref name=":0">Eric W. Weisstein (), ''[http://mathworld.wolfram.com/MusselmansTheorem.html Musselman's theorem]''. online document, accessed on 2014-10-05.</ref>。

[[Encyclopedia of Triangle Centers]]において、{{Mvar|M}}は[[三角形の中心]]<math>X_{1157}</math>に割り当てられている<ref>Clark Kimberling (2014), ''[http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html#X1157 Encyclopedia of Triangle Centers]'', section ''X(1157)'' .  Accessed on 2014-10-08</ref><ref name=":0" />。

== 歴史 ==
マッセルマンの定理は1939年、{{仮リンク|ジョン・ロジャース・マッセルマン|en|John Rogers Musselman}}と[[ルネ・ゴールマハティヒ]]によって発見され、1941年に証明された<ref>[[John Rogers Musselman]] and [[René Goormaghtigh]] (1939), ''Advanced Problem 3928''. [[American Mathematical Monthly]], volume 46, page 601</ref><ref>John Rogers Musselman and René Goormaghtigh (1941), ''Solution to Advanced Problem 3928''. American Mathematics Monthly, volume 48, pages 281–283</ref>。また、ゴールマハティヒは一般化についても示している<ref>Jean-Louis Ayme, ''[http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/Docs/Le%20point%20de%20Kosnitza.pdf le point de Kosnitza]'', page 10. Online document, accessed on 2014-10-05.</ref>。 

== ゴールマハティヒの一般化 ==
ゴールマハティヒによるマッセルマンの定理の一般化は、円には明確に言及していない。

前項と同様に{{Mvar|T,A,B,C,O}}を定める。また{{Mvar|T}}の[[垂心]]を{{Mvar|H}}とする。今、[[線分]]{{Mvar|OA,OB,OC}}上の点{{Mvar|A',B',C'}}を{{Math|1=''OA' '' / ''OA''= ''OB' '' / ''OB''= ''OC' '' / ''OC''= ''t''}}を満たすように定める。次に、それぞれ{{Mvar|A',B',C'}}を通り、{{Mvar|OA,OB,OC}}に[[直交]]する直線{{Mvar|l{{sub|a}} , l{{sub|b}} , l{{sub|c}}}}と{{Mvar|BC , CA , AB}}の交点を{{Mvar|P{{sub|a}} , P{{sub|b}} , P{{sub|c}}}}とする。

1884年、[[ヨーゼフ・ジャン・バティスト・ノイベルグ|ノイベルグ]]は、{{Mvar|P{{sub|a}} , P{{sub|b}} , P{{sub|c}}}}は[[共線|一直線{{Mvar|R}}上にある]]ことに気づいた<ref name=":1">[[Joseph Jean Baptiste Neuberg|Joseph Neuberg]] (1884), ''Mémoir sur le Tetraèdre''.  According to Nguyen, Neuberg also states Goormaghtigh's theorem, but incorrectly.</ref>。{{Mvar|N}}を{{Mvar|R}}に対する{{Mvar|O}}の射影、{{Mvar|N'}}を{{Mvar|R}}上の{{Math|1=''ON' '' / ''ON''= ''t''}}を満たす点と定義する。{{Mvar|Q}}を{{Math|1=''QH'' / ''QO'' =  2''t''}}を満たす[[オイラー線]]上の点として、ゴールマハティヒは{{Mvar|N'}}が{{Mvar|T}}の外接円における{{Mvar|Q}}の反転点であることを証明した<ref>Khoa Lu Nguyen (2005), ''[http://forumgeom.fau.edu/FG2005volume5/FG200502.pdf A synthetic proof of Goormaghtigh's  generalization of Musselman's theorem]''. [[:en:Forum_Geometricorum|Forum Geometricorum]], volume 5, pages 17–20</ref><ref name="barbu2012">Ion Pătrașcu and Cătălin Barbu (2012), ''[http://ijgeometry.com/wp-content/uploads/2011/10/21.pdf Two new proofs of Goormaghtigh theorem]''.  International Journal of Geometry, volume 1, pages=10–19, {{ISSN|2247-9880}}</ref>。

== 出典 ==
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== 参考文献 ==
* {{Cite journal|journal=Global Journal of Advanced Research on Classical and Modern Geometries|author=Ngo Quang Duong|year=2016|title=Generalization of Musselman's Theorem. Some Properties of Isogonal Conjugate Points|volume=5|issue=1|pages=15-29|url=https://geometry-math-journal.ro/pdf/Volume5-Issue1/3.pdf}}
* {{Cite journal|journal=Global Journal of Advanced Research on Classical and Modern Geometries|author= Nguyen Minh Ha|author2=Tran Quang Hung|year=2020|title=Another Generalization of Musselman's Theorems|volume=19|issue=2|pages=128-136|url=https://geometry-math-journal.ro/wp-content/uploads/2021/08/Paper3-Issue-2-2021.pdf|issn=2284-5569}}
* {{Cite journal|journal=Global Journal of Advanced Research on Classical and Modern Geometries|author=Tran Quang Hung|year=2024|title=A NewGeneralization of Musselman's Theorem|volume=13|issue=2|pages=151-157|url=https://geometry-math-journal.ro/wp-content/uploads/2024/09/2024-Issue2-4.pdf|issn=2284-5569}}

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