マッセルマンの定理

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テンプレート:暫定記事名 マッセルマンの定理（マッセルマンのていり、テンプレート:Lang-en-short）は、ユークリッド幾何学の三角形と円に関する定理。

三角形テンプレート:Mvarの頂点をテンプレート:Mvar、テンプレート:Mvarの鏡映三角形をテンプレート:Mvarとする[1]。三角形の外心テンプレート:Mvarと対応する三角形の頂点を通る円、つまり円テンプレート:Mvar を描く。この円はマッセルマン円（テンプレート:Lang） と呼ばれる。マッセルマンの定理によれば、3つのマッセルマン円はテンプレート:Mvarとは異なる点テンプレート:Mvarで交わる。またテンプレート:Mvarは、テンプレート:Mvarの九点円の中心の等角共役点であるコスニタ点の、テンプレート:Mvarの外接円による反転点である[2]。

Encyclopedia of Triangle Centersにおいて、テンプレート:Mvarは三角形の中心X1157に割り当てられている[3][2]。

歴史

マッセルマンの定理は1939年、テンプレート:仮リンクとルネ・ゴールマハティヒによって発見され、1941年に証明された[4][5]。また、ゴールマハティヒは一般化についても示している[6]。

ゴールマハティヒの一般化

ゴールマハティヒによるマッセルマンの定理の一般化は、円には明確に言及していない。

前項と同様にテンプレート:Mvarを定める。またテンプレート:Mvarの垂心をテンプレート:Mvarとする。今、線分テンプレート:Mvar上の点テンプレート:Mvarをテンプレート:Mathを満たすように定める。次に、それぞれテンプレート:Mvarを通り、テンプレート:Mvarに直交する直線テンプレート:Mvarとテンプレート:Mvarの交点をテンプレート:Mvarとする。

1884年、ノイベルグは、テンプレート:Mvarは[[共線|一直線テンプレート:Mvar上にある]]ことに気づいた[7]。テンプレート:Mvarをテンプレート:Mvarに対するテンプレート:Mvarの射影、テンプレート:Mvarをテンプレート:Mvar上のテンプレート:Mathを満たす点と定義する。テンプレート:Mvarをテンプレート:Mathを満たすオイラー線上の点として、ゴールマハティヒはテンプレート:Mvarがテンプレート:Mvarの外接円におけるテンプレート:Mvarの反転点であることを証明した[8][9]。

出典

テンプレート:Reflist

参考文献

  1. ↑ D. Grinberg (2003) On the Kosnita Point and the Reflection Triangle. Forum Geometricorum, volume 3, pages 105–111
  2. ↑ 2.0 2.1 Eric W. Weisstein (), Musselman's theorem. online document, accessed on 2014-10-05.
  3. ↑ Clark Kimberling (2014), Encyclopedia of Triangle Centers, section X(1157) . Accessed on 2014-10-08
  4. ↑ John Rogers Musselman and René Goormaghtigh (1939), Advanced Problem 3928. American Mathematical Monthly, volume 46, page 601
  5. ↑ John Rogers Musselman and René Goormaghtigh (1941), Solution to Advanced Problem 3928. American Mathematics Monthly, volume 48, pages 281–283
  6. ↑ Jean-Louis Ayme, le point de Kosnitza, page 10. Online document, accessed on 2014-10-05.
  7. ↑ Joseph Neuberg (1884), Mémoir sur le Tetraèdre. According to Nguyen, Neuberg also states Goormaghtigh's theorem, but incorrectly.
  8. ↑ Khoa Lu Nguyen (2005), A synthetic proof of Goormaghtigh's generalization of Musselman's theorem. Forum Geometricorum, volume 5, pages 17–20
  9. ↑ Ion Pătrașcu and Cătălin Barbu (2012), Two new proofs of Goormaghtigh theorem. International Journal of Geometry, volume 1, pages=10–19, テンプレート:ISSN
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