マルコフ数のソースを表示

{{出典の明記|date=2016年9月}}
'''マルコフ数'''（マルコフすう）は、マルコフの[[ディオファントス方程式]]と呼ばれる以下の式

:<math>x^2 + y^2 + z^2 = 3xyz</math>

の解の一部を与える正[[整数]]''x'', ''y'', ''z''である<ref>{{cite journal | last1=Markoff | first1=A. | authorlink = アンドレイ・マルコフ |title=First memory| journal=[[Mathematische Annalen]] | year=1879 | doi=10.1007/BF02086269 | volume=15 | pages=381–406 | issue=3–4 | s2cid=179177894 |url=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/index.php?id=11&PPN=PPN235181684_0015&DMDID=DMDLOG_0031&L=1}}</ref><ref>{{cite journal | last1=Markoff | first1=A. | authorlink = アンドレイ・マルコフ |title=Second memory| journal=[[Mathematische Annalen]] | year=1880 | doi=10.1007/BF01446234 | volume=17 | pages=379–399 | issue=3 | s2cid=121616054 |url=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/index.php?id=11&PPN=PPN235181684_0017&DMDID=DMDLOG_0045&L=1}}</ref>。マルコフ数は、ロシアの数学者[[アンドレイ・マルコフ]]の名にちなんでいる。

最初のいくつかのマルコフ数を列挙する。

:[[1]], [[2]], [[5]], [[13]], [[29]], [[34]], [[89]], [[169]], [[194]], [[233]], [[433]], [[610]], [[985]], 1325, ...({{OEIS|A002559}})

これらは、解の組（マルコフの3つ組）としては以下のようなものである。

:(1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 5), (1, 5, 13), (2, 5, 29), (1, 13, 34), (1, 34, 89), (2, 29, 169), (5, 13, 194), (1, 89, 233), (5, 29, 433), (1, 233, 610), ...

[[画像:Diagram of Markoff tree.png|450px|thumb|二分木上に配置されたマルコフ数]]

マルコフ数もマルコフの3つ組も無限個存在する。マルコフのディオファントス方程式が対称であることから、マルコフの3つ組は要素を並べ替えても再び方程式の解を与える。したがって、（上記の例のように） <math>a\le b\le c</math> を仮定して正規化することができる。最初の2つの3つ組を除いて、マルコフの3つ組 <math>(a,b,c)</math> は必ず3つの相異なる整数からなる。与えられたマルコフ数 ''c'' に対して、c が最大要素であるようなマルコフの3つ組が一意に定まるとする予想がある。

マルコフ数は[[二分木]]上に配置することが可能である（図参照）。あるレベルに置かれた整数の中で最大のものは、常にほぼ下から3番目にある。解の1つが2であるような3つ組に含まれるマルコフ数は、すべて[[奇数]]番目の[[ペル数]]である（あるいは、<math>2n^2 - 1</math> が平方数となるような ''n'' と言い換えてもよい）。また、解の1つが1であるような3つ組に含まれるマルコフ数は、奇数番目の[[フィボナッチ数]]である。したがって、以下のようなマルコフの3つ組は無限個存在する。

:<math>(1, F_{2n - 1}, F_{2n + 1})</math>

ただし ''F''<sub>''x''</sub> は''x'' 番目のフィボナッチ数とする。同様に、以下のようなマルコフの3つ組も無限個存在する。

:<math>(2, P_{2n - 1}, P_{2n + 1})</math>

ここで ''P''<sub>''x''</sub> は ''x'' 番目のペル数とする。

奇数のマルコフ数は<math>4n + 1</math>という形であり、偶数のマルコフ数は <math>32n + 2</math> という形である。

あるマルコフの3つ組 (''x'', ''y'', ''z'') がわかっているとき、<math>(x, y, 3xy - z)</math> という形の3つ組もまたマルコフの3つ組である。マルコフ数は[[素数]]であるとは限らないが、マルコフの3つ組の要素は常に[[互いに素 (整数論)|互いに素]]である。<math>(x, y, 3xy - z)</math> がマルコフの3つ組であるために、必ずしも <math>x < y < z</math> が常に成り立つ必要はない。実際、要素の順序を変えずに上記の変換を2回続ければ、元のマルコフの3つ組に戻る。そこで、(1, 1, 2) から初めて ''y'' と ''z'' を入れ替えてから変換を行うという操作を続けると、フィボナッチ数からなるマルコフの3つ組が並ぶ。また''x'' と ''z''を入れ替えてから変換を行うという操作を続ければ、ペル数からなるマルコフの3つ組を与える。

1979年に、Don B. Zagier は ''n'' 番目のマルコフ数が[[近似]]的に

:<math>m_n = \tfrac13 e^{C\sqrt{n}+o(1)} \quad\text{with } C = 2.3523418721 \ldots</math>

で与えられることを証明した。さらに彼は、（元のディオファントス方程式の非常に良い近似である）<math>x^2 + y^2 + z^2 = 3xyz +4/9</math>が''f''(''t'') = [[双曲線関数#逆双曲線関数|arcosh]](3''t''/2)に対して <math>f(x)+f(y)=f(z)</math> と書けることを示した。

''n'' 番目の{{仮リンク|ラグランジュ数|en|Lagrange number}}は、''n'' 番目のマルコフ数から以下の公式によって求められる。

:<math>L_n = \sqrt{9 - {4 \over {m_n}^2}}</math>

==参考文献==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist}}

==関連項目==
*[[クラスター代数]]

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