マルコフ数

テンプレート:出典の明記 マルコフ数（マルコフすう）は、マルコフのディオファントス方程式と呼ばれる以下の式

$x^2+y^2+z^2=3xyz$

の解の一部を与える正整数x, y, zである。マルコフ数は、ロシアの数学者アンドレイ・マルコフの名にちなんでいる。

最初のいくつかのマルコフ数を列挙する。

1, 2, 5, 13, 29, 34, 89, 169, 194, 233, 433, 610, 985, 1325, ...(テンプレート:OEIS)

これらは、解の組（マルコフの3つ組）としては以下のようなものである。

(1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 5), (1, 5, 13), (2, 5, 29), (1, 13, 34), (1, 34, 89), (2, 29, 169), (5, 13, 194), (1, 89, 233), (5, 29, 433), (1, 233, 610), ...

二分木上に配置されたマルコフ数

マルコフ数もマルコフの3つ組も無限個存在する。マルコフのディオファントス方程式が対称であることから、マルコフの3つ組は要素を並べ替えても再び方程式の解を与える。したがって、（上記の例のように） $a\le b\le c$ を仮定して正規化することができる。最初の2つの3つ組を除いて、マルコフの3つ組 $(a,b,c)$ は必ず3つの相異なる整数からなる。与えられたマルコフ数 c に対して、c が最大要素であるようなマルコフの3つ組が一意に定まるとする予想がある。

マルコフ数は二分木上に配置することが可能である（図参照）。あるレベルに置かれた整数の中で最大のものは、常にほぼ下から3番目にある。解の1つが2であるような3つ組に含まれるマルコフ数は、すべて奇数番目のペル数である（あるいは、$2n^2-1$ が平方数となるような n と言い換えてもよい）。また、解の1つが1であるような3つ組に含まれるマルコフ数は、奇数番目のフィボナッチ数である。したがって、以下のようなマルコフの3つ組は無限個存在する。

$(1,F_{2n-1},F_{2n+1})$

ただし F_x はx 番目のフィボナッチ数とする。同様に、以下のようなマルコフの3つ組も無限個存在する。

$(2,P_{2n-1},P_{2n+1})$

ここで P_x は x 番目のペル数とする。

奇数のマルコフ数は$4n+1$という形であり、偶数のマルコフ数は $32n+2$ という形である。

あるマルコフの3つ組 (x, y, z) がわかっているとき、$(x,y,3xy-z)$ という形の3つ組もまたマルコフの3つ組である。マルコフ数は素数であるとは限らないが、マルコフの3つ組の要素は常に互いに素である。$(x,y,3xy-z)$ がマルコフの3つ組であるために、必ずしも $x<y<z$ が常に成り立つ必要はない。実際、要素の順序を変えずに上記の変換を2回続ければ、元のマルコフの3つ組に戻る。そこで、(1, 1, 2) から初めて y と z を入れ替えてから変換を行うという操作を続けると、フィボナッチ数からなるマルコフの3つ組が並ぶ。またx と zを入れ替えてから変換を行うという操作を続ければ、ペル数からなるマルコフの3つ組を与える。

1979年に、Don B. Zagier は n 番目のマルコフ数が近似的に

$m_n=\frac{1}{3}{e}^{C\sqrt{n}+o(1)}\text{with }C=2.3523418721\dots$

で与えられることを証明した。さらに彼は、（元のディオファントス方程式の非常に良い近似である）$x^2+y^2+z^2=3xyz+4/9$がf(t) = arcosh(3t/2)に対して $f(x)+f(y)=f(z)$ と書けることを示した。

n 番目のテンプレート:仮リンクは、n 番目のマルコフ数から以下の公式によって求められる。

$L_n=\sqrt{9-\frac{4}{{m_n}^2}}$

関連項目

• クラスター代数