マンガレリの等式のソースを表示

[[数学]]の[[常微分方程式]]の分野における'''マンガレリの等式'''（マンガレリのとうしき、{{Lang-en-short|Mingarelli identity}}）とは、実領域におけるある[[線型微分方程式]]の解が[[振動理論|振動的]]であるか[[振動理論|非振動的]]であるかを判別するための条件を与える定理で、{{仮リンク|フィリップ・ハートマン|en|Philip Hartman}}により名付けられた<ref name="Hartman">{{harvnb|Clark D.N., G. Pecelli, and R. Sacksteder|1981}}</ref>。[[ピコーンの等式]]を二つの微分方程式から三つあるいはそれ以上の二階微分方程式へと拡張するものである。ここでは最も基本的な形式のものを紹介する。

== 等式 ==
''t''-区間 [''a'',&nbsp;''b''] 上の二階線型微分方程式系
<math>(p_i(t) x_i^\prime)^\prime + q_i(t) x_i = 0, \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, x_i(a)=1,\,\, x_i^\prime(a)=R_i\,</math>
の <math>n</math> 個の解を考える。ただし <math>i=1,2, \ldots, n</math> である。<math>\Delta</math> は前進差分を表す作用素、すなわち <math>\Delta x_i = x_{i+1}-x_i</math> で与えられる作用素とする。二次の差分作用素は、この一次の作用素を <math>\Delta^2 (x_i) = \Delta(\Delta x_i) = x_{i+2}-2x_{i+1}+x_{i}</math> のように繰り返すことで得られ、より高次の差分についても同様に定義される。

以下では簡単のために独立変数 ''t'' を省略し、(''a'',&nbsp;''b''] 上では <math>x_i(t) \ne 0</math> が成立するものとする。このとき、次の等式が成り立つ<ref name="Mingarelli">{{harvnb|Mingarelli|1979|p=223}}</ref>：
: <math>
\begin{align}
x_{n-1}^2\Delta^{n-1}(p_1r_1)]_a^b & = \int_a^b (x^\prime_{n-1})^2 \Delta^{n-1}(p_1) - \int_a^b x_{n-1}^2 \Delta^{n-1}(q_1) 
- \sum_{k=0}^{n-1} C(n-1,k)(-1)^{n-k-1}\int_a^b p_{k+1} W^2(x_{k+1},x_{n-1})/x_{k+1}^2,
\end{align}
</math>
ここで <math>r_i = x^\prime_i/x_i</math> は[[対数微分]]であり、<math>W(x_i, x_j) = x^\prime_ix_j - x_ix^\prime_j</math> は[[ロンスキアン]]、<math>C(n-1,k)</math> は[[二項係数]]を表す。<math>n=2</math> のとき、この等式は[[ピコーンの等式]]となる。

上の等式は三つの線型微分方程式に対して、ただちに以下の比較定理を導く<ref name="Mingarelli2">{{harv|Mingarelli|1979|Theorem 2}}</ref>。これは[[スツルム＝ピコーンの比較定理]]の拡張である。

<math>p_i,\, q_i,\,</math> ''i''&nbsp;=&nbsp;1,&nbsp;2, 3 を、区間 [''a'',&nbsp;''b''] 上の実数値連続関数とし、
#<math>(p_1(t) x_1^\prime)^\prime + q_1(t) x_1 = 0, \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, x_1(a)=1,\,\, x_1^\prime(a)=R_1\,</math> 
#<math>(p_2(t) x_2^\prime)^\prime + q_2(t) x_2 = 0, \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, x_2(a)=1,\,\,  x_2^\prime(a)=R_2\,</math>
#<math>(p_3(t) x_3^\prime)^\prime + q_3(t) x_3 = 0, \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, x_3(a)=1,\,\,  x_3^\prime(a)=R_3\,</math>
を三つの[[スツルムリウビル型微分方程式|自己随伴形式]]の二階同次線型微分方程式とし、
:<math>p_i(t)>0\,</math> が各 i および [''a'',&nbsp;''b''] 内のすべての ''t'' に対して成立するものとし、<math>R_i</math> は任意の実数とする。

[''a'',&nbsp;''b''] 内のすべての ''t'' に対して、
:<math>\Delta^2(q_1) \ge 0 </math>,
:<math>\Delta^2(p_1) \le 0 </math>,
:<math>\Delta^2(p_1(a)R_1) \le 0 </math>
の成立を仮定する。このとき、[''a'',&nbsp;''b''] 上で <math>x_1(t) > 0</math> であり、<math>x_2(b)=0</math> であるなら、任意の解 <math>x_3(t)</math> は [''a'',&nbsp;''b''] 内に少なくとも一つのゼロ点を持つ。

== 参考文献 ==

{{Reflist}}

* {{cite book
 |last=Clark D.N., G. Pecelli, and R. Sacksteder
 |first=
 |year=1981
 |author-link= 
 |author2-link= G. Pecelli
 |author3-link=R. Sacksteder
 |language=
 |title=Contributions to Analysis and Geometry
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 |series=
 |volume=
 |pages=
 |location= Baltimore, USA
 |publisher= Johns Hopkins University Press
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 |url=
 |ref=harv}}

* {{cite journal
 |last=Mingarelli
 |first= Angelo B.
 |year=1979
 |author-link=
 |author2-link=
 |language=
 |title= Some extensions of the Sturm–Picone theorem
 |journal= Comptes Rendus Math. Rep. Acad. Sci. Canada
 |series=
 |volume=1 (4)
 |pages=223–226
 |location= Toronto, Ontario, Canada
 |publisher= The Royal Society of Canada
 |isbn=
 |url=
 |ref=harv}}

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