マーラー体積のソースを表示

{{仮リンク|凸体の幾何学|en|convex geometry}}(convex geometry)では、{{仮リンク|中心対称|en|central symmetry}}(central symmetry)な{{仮リンク|凸体|en|convex body}}(convex body)の'''マーラー体積'''(Mahler volume)とは、凸体に付随する[[無次元数|無次元量]]で、[[線型変換]]の下に不変な量をいう。この名称はドイツ-イギリスの数学者{{仮リンク|クルト・マーラー|en|Kurt Mahler}}(Kurt Mahler)にちなんでいる。最も大きなマーラー体積を持つ形は球や楕円体であることは知られていて、現在では、'''ブラシュケ・サンタローの不等式'''(Blaschke–Santaló inequality)となっている。未解決な'''マーラー予想'''(Mahler conjecture)とは、最小なマーラー体積は[[超立方体]]によって得られるのではないかという予想である。
<!---In [[convex geometry]], the '''Mahler volume''' of a [[central symmetry|centrally symmetric]] [[convex body]] is a [[dimensionless quantity]] that is associated with the body and is invariant under [[linear transformation]]s. It is named after German-English mathematician [[Kurt Mahler]]. It is known that the shapes with the largest possible Mahler volume are the spheres and ellipsoids; this is now known as the '''Blaschke–Santaló inequality'''. The still-unsolved '''Mahler conjecture''' states that the minimum possible Mahler volume is attained by a [[hypercube]].-->

==定義==
[[ユークリッド空間]]の中の凸体は、内部が空でない[[コンパクト空間|コンパクト]]な凸集合として定義される。B がn-次元ユークリッド空間の中の中心対称な凸体であれば、{{仮リンク|偏極集合|label=偏極体|en|Polar set}}(polar body) ''B''<sup>o</sup> は、同じ空間の中でもうひとつの中心対称体となり、次の集合として定義される。
:<math>\left\{ x\mid x\cdot y\le 1 \text{ for all } y\in B \right\}.</math>

''B'' のマーラー体積は、''B'' の体積と ''B''<sup>o</sup> の体積の積である<ref name="tao">{{harvtxt|Tao|2007}}.</ref>。

''T'' が線型変換であれば、<math>(TB)^\circ = (T^{-1})^\ast B^\circ</math>である。従って、''T'' によって ''B'' の体積は <math>\det T</math> 倍変化し、''B''<sup>o</sup> の体積は <math>\det (T^{-1})^\ast</math> 倍変化するので、''B'' のマーラー測度全体は線型変換により保存される。
<!---==Definition==
A convex body in [[Euclidean space]] is defined as a [[compact space|compact]] convex set with non-empty interior.  If ''B'' is a centrally symmetric convex body in ''n''-dimensional [[Euclidean space]], the [[Polar set|polar body]] ''B''<sup>o</sup> is another centrally symmetric body in the same space, defined as the set

:<math>\left\{ x\mid x\cdot y\le 1 \text{ for all } y\in B \right\}.</math>

The Mahler volume of ''B'' is the product of the volumes of ''B'' and ''B''<sup>o</sup>.<ref name="tao">{{harvtxt|Tao|2007}}.</ref>

If ''T'' is a linear transformation, then <math>(TB)^\circ = (T^{-1})^\ast B^\circ</math>; thus applying ''T'' to ''B'' changes its volume by <math>\det T</math> and changes the volume of ''B''<sup>o</sup> by <math>\det (T^{-1})^\ast</math>.  Thus the overall Mahler volume of ''B'' is preserved by linear transformations.-->

==例==
''n'' 次元の[[球体|単位球]]の偏極体は、それ自体もう一つの単位球となっているので、そのマーラー測度はちょうど単位球の体積の二乗である． 
:<math>\frac{\Gamma(3/2)^{2n}4^n}{\Gamma(\frac{n}{2}+1)^2}.</math>
ここに Γ は[[ガンマ函数]]を表す。アフィン変換不変性により、任意の[[楕円体]]は同じマーラー測度を持っている<ref name="tao"/>。

[[多面体]]や[[ポリトープ]]の偏極体は、その[[双対多面体]]や双対ポリトープである。特に、[[立方体]]や[[超立方体]]の偏極体は、[[正八面体]]や{{仮リンク|クロスポリトープ|en|cross polytope}}(cross polytope)である。それらのマーラー測度は次のように計算することができる<ref name="tao"/>。
:<math>\frac{4^n}{\Gamma(n+1)}.</math>

球のマーラー測度は、およそ <math>\left(\tfrac{\pi}{2}\right)^n</math> 倍、超立方体のマーラー測度よりも大きい。<ref name="tao"/>
<!---==Examples==
The polar body of an ''n''-dimensional [[n-sphere|unit sphere]] is itself another unit sphere. Thus, its Mahler volume is just the square of its volume, 
:<math>\frac{\Gamma(3/2)^{2n}4^n}{\Gamma(\frac{n}{2}+1)^2}.</math>
Here Γ represents the [[Gamma function]].
By affine invariance, any [[ellipsoid]] has the same Mahler volume.<ref name="tao"/>

The polar body of a [[polyhedron]] or [[polytope]] is its [[dual polyhedron]] or dual polytope. In particular, the polar body of a [[cube]] or [[hypercube]] is an [[octahedron]] or [[cross polytope]]. Its Mahler volume can be calculated as<ref name="tao"/>
:<math>\frac{4^n}{\Gamma(n+1)}.</math>

The Mahler volume of the sphere is larger than the Mahler volume of the hypercube by a factor of approximately <math>\left(\tfrac{\pi}{2}\right)^n</math>.<ref name="tao"/>-->

==極端な形==
ブラシュケ・サンタローの不等式は、最大のマーラー体積を持った形は球と楕円体であるということを言っている．この結果は 3次元の場合には、{{仮リンク|ウィルヘルム・ブラシュケ|en|Wilhelm Blaschke}}(Wilhelm Blaschke)により証明され、一般の結果は、かなり後に、{{仮リンク|ルイス・サンタロー|en|Luis Santaló}}(Luis Santaló)<ref>
{{harvs|first=Luis|last=Santaló|authorlink=ルイス・サンタロー|txt|year=1949}}</ref>により証明された。証明の方法は、{{仮リンク|シュタイナー対称化|en|Steiner symmetrization}}(Steiner symmetrization)として知られているテクニックを使うもので、任意の中心対称性をもつ凸体はマーラー体積を減少させることなく、より球体に近い凸体に置き換えることができるという方法である。<ref name="tao"/>

知られている中で最小のマーラー体積を持つ形は、[[超立方体]]や{{仮リンク|クロスポリトープ|en|cross polytope}}(cross polytope)、より一般的には、これらの 2つのタイプの形を含む{{仮リンク|ハナーポリトープ|en|Hanner polytope}}(Hanner polytope)、そしてそれらのアフィン変換である。'''マーラー予想'''(Mahler conjecture)は、これらの形のマーラー体積が ''n'' 次元の対称凸体の中では最小のマーラー体積になるのではないかという予想で、未解決な予想となっている。[[テレンス・タオ]]は次のように書いている。<ref name="tao"/>
{{cquote|The main reason why this conjecture is so difficult is that unlike the upper bound, in which there is essentially only one extremiser up to affine transformations (namely the ball), there are many distinct extremisers for the lower bound - not only the cube and the octahedron, but also products of cubes and octahedra, polar bodies of products of cubes and octahedra, products of polar bodies of… well, you get the idea. It is really difficult to conceive of any sort of flow or optimisation procedure which would converge to exactly these bodies and no others; a radically different type of argument might be needed.}}

{{harvtxt|Bourgain|Milman|1987}}は、{{訳語疑問点範囲|マーラー体積は超立方体の体積のスケーリングの振る舞いと合致するがより小さなある絶対的な定数 {{math|''c'' > 0}} に対して {{mvar|c{{sup|n}}}} 掛ける球面の体積によって下からおさえられることを証明した。|date=2015年1月}}このタイプの結果は'''逆サンタロー不等式'''(reverse Santaló inequality)として知られている。
<!---{{harvtxt|Bourgain|Milman|1987}} prove that the Mahler volume is bounded below by ''c<sup>n</sup>'' times the volume of a sphere for some absolute constant ''c''&nbsp;&gt;&nbsp;0, matching the scaling behavior of the hypercube volume but with a smaller constant. A result of this type is known as a '''reverse Santaló inequality'''.-->

==脚注==
{{reflist}}

==参考文献==
*{{citation
 | last1 = Bourgain | first1 = J.
 | last2 = Milman | first2 = V. D.
 | doi = 10.1007/BF01388911
 | mr = 880954
 | issue = 2
 | journal = Inventiones Mathematicae
 | pages = 319–340
 | title = New volume ratio properties for convex symmetric bodies in '''R'''<sup>''n''</sup>
 | volume = 88
 | year = 1987}}.
*{{citation
 | last = Santaló | first = L. A.
 | format = In Spanish
 | mr = 0039293
 | journal = Portugaliae Math.
 | pages = 155–161
 | title = An affine invariant for convex bodies of ''n''-dimensional space
 | volume = 8
 | year = 1949}}.
*{{citation|url=https://terrytao.wordpress.com/2007/03/08/open-problem-the-mahler-conjecture-on-convex-bodies/|first=Terence|last=Tao|authorlink=テレンス・タオ|title=Open question: the Mahler conjecture on convex bodies|date=March 8, 2007}}. Revised and reprinted in {{citation|first=Terence|last=Tao|authorlink=Terence Tao|contribution=3.8 Mahler's conjecture for convex bodies|pages=216–219|title=Structure and Randomness: Pages from Year One of a Mathematical Blog|publisher=[[American Mathematical Society]]|year=2009|isbn=978-0-8218-4695-7}}.

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