マーラー体積

テンプレート:仮リンク(convex geometry)では、テンプレート:仮リンク(central symmetry)なテンプレート:仮リンク(convex body)のマーラー体積(Mahler volume)とは、凸体に付随する無次元量で、線型変換の下に不変な量をいう。この名称はドイツ-イギリスの数学者テンプレート:仮リンク(Kurt Mahler)にちなんでいる。最も大きなマーラー体積を持つ形は球や楕円体であることは知られていて、現在では、ブラシュケ・サンタローの不等式(Blaschke–Santaló inequality)となっている。未解決なマーラー予想(Mahler conjecture)とは、最小なマーラー体積は超立方体によって得られるのではないかという予想である。

定義

ユークリッド空間の中の凸体は、内部が空でないコンパクトな凸集合として定義される。B がn-次元ユークリッド空間の中の中心対称な凸体であれば、テンプレート:仮リンク(polar body) B^o は、同じ空間の中でもうひとつの中心対称体となり、次の集合として定義される。

$\{x\mid x\cdot y\le 1\text{ for all }y\in B\}.$

B のマーラー体積は、B の体積と B^o の体積の積である。

T が線型変換であれば、$(TB{)}^{\circ }=(T^{-1}{)}^{\ast }{B}^{\circ }$である。従って、T によって B の体積は $\det T$ 倍変化し、B^o の体積は $\det (T^{-1}{)}^{\ast }$ 倍変化するので、B のマーラー測度全体は線型変換により保存される。

例

n 次元の単位球の偏極体は、それ自体もう一つの単位球となっているので、そのマーラー測度はちょうど単位球の体積の二乗である．

$\frac{\mathrm{\Gamma }(3/2{)}^{2n}{4}^n}{\mathrm{\Gamma }(\frac{n}{2}+1{)}^2}.$

ここに Γ はガンマ函数を表す。アフィン変換不変性により、任意の楕円体は同じマーラー測度を持っている。

多面体やポリトープの偏極体は、その双対多面体や双対ポリトープである。特に、立方体や超立方体の偏極体は、正八面体やテンプレート:仮リンク(cross polytope)である。それらのマーラー測度は次のように計算することができる。

$\frac{4^n}{\mathrm{\Gamma }(n+1)}.$

球のマーラー測度は、およそ ${\left(\frac{\pi }{2}\right)}^n$ 倍、超立方体のマーラー測度よりも大きい。

極端な形

ブラシュケ・サンタローの不等式は、最大のマーラー体積を持った形は球と楕円体であるということを言っている．この結果は 3次元の場合には、テンプレート:仮リンク(Wilhelm Blaschke)により証明され、一般の結果は、かなり後に、テンプレート:仮リンク(Luis Santaló)により証明された。証明の方法は、テンプレート:仮リンク(Steiner symmetrization)として知られているテクニックを使うもので、任意の中心対称性をもつ凸体はマーラー体積を減少させることなく、より球体に近い凸体に置き換えることができるという方法である。

知られている中で最小のマーラー体積を持つ形は、超立方体やテンプレート:仮リンク(cross polytope)、より一般的には、これらの 2つのタイプの形を含むテンプレート:仮リンク(Hanner polytope)、そしてそれらのアフィン変換である。マーラー予想(Mahler conjecture)は、これらの形のマーラー体積が n 次元の対称凸体の中では最小のマーラー体積になるのではないかという予想で、未解決な予想となっている。テレンス・タオは次のように書いている。 テンプレート:Cquote

テンプレート:Harvtxtは、テンプレート:訳語疑問点範囲このタイプの結果は逆サンタロー不等式(reverse Santaló inequality)として知られている。

参考文献

• テンプレート:Citation.
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• テンプレート:Citation. Revised and reprinted in テンプレート:Citation.