ミルズの定数のソースを表示

[[数論]]における'''ミルズの定数'''（{{lang-en-short|Mills' constant}}）とは、任意の自然数 {{math|''n''}} に対して

: <math> \left\lfloor A^{3^{n}} \right\rfloor</math>

がすべて[[素数]]となる最小の正[[実数]] {{math|''A''}} のことを言う。1947年に名前の由来である William Harold Mills により、[[素数の間隔]]に関する [[:en:Guido Hoheisel]] および [[アルバート・イングハム|Albert Ingham]] らの成果を用いてその存在が証明された{{r|Mills1947}}。値は証明されていないものの、[[リーマン予想]]を真と仮定した場合

: {{math|''A'' {{=}} 1.3063778838630806904686144926...}}（{{OEIS|id=A051021|name=Decimal expansion of Mills's constant, assuming the Riemann Hypothesis is true}}）

となることが知られている。

== ミルズ素数 ==

ミルズの定数から生成される素数 {{math|''a''{{msub|''n''}}}} は'''ミルズ素数'''と呼ばれる。ミルズ素数を求めるには、適当な {{math|''a''{{msub|1}}}} から順に {{math|''a''{{msub|''n''}}}} を

: <math>{a_{n-1}}^3 < a_n < (a_{n-1}+1)^3</math>

の範囲における最小の素数としていけばよい。Hoheisel と Ingham らによって、{{math|''a''}} が十分大きいとき {{math|''a''{{msup|3}}}} と {{math|(''a'' + 1){{msup|3}}}} の間には少なくとも1つの素数が存在することが証明されているため、この不等式を満足するには {{math|''a''{{msub|1}}}} を十分大きく取ればよい。もし[[リーマン予想]]が真ならば「十分大きい」必要はなくなり、{{math|''a''{{msub|1}} {{=}} 2}} としてミルズ素数

: {{math|2, 11, 1361, 2521008887, ...}}（{{OEIS|A051254}}）

および上述した {{math|''A''}} が得られる。

{{math|''a''}} の上界として {{math|''e''{{msup|''e''{{msup|34}}}}}} が知られている{{r|Dudek2016}}。ミルズの定数を証明するにはこれを超えるまでミルズ素数を求めればよいが、そのような検証を行うにはあまりにも大きすぎる上界のため実用的でない。参考までに、2018年時点で知られている最大の素数は {{math|2{{msup|82589933}} − 1}} であり、{{math|''e''{{msup|''e''{{msup|34}}}} ≈ 2{{msup|14058779606.34...}}}} よりはるかに小さい。

2017年現在、[[リーマン予想]]仮定の下（{{math|''a''{{msub|1}} {{=}} 2}}）のミルズ素数は11番目までは素数であることが証明されており、その値

: <math>\displaystyle (((((((((2^3+3)^3+30)^3+6)^3+80)^3+12)^3+450)^3+894)^3+3636)^3+70756)^3+97220</math>

は20,562桁にも及ぶ{{r|Caldwell2006}}。また[[確率的素数]]としては14番目まで知られており、その値

: <math>\displaystyle ((((((((((((2^3+3)^3+30)^3+6)^3+80)^3+12)^3+450)^3+894)^3+3636)^3+70756)^3+97220)^3+66768)^3+300840)^3+1623568</math>

は555,154桁にも及ぶ（{{OEIS|A108739}}）。

== 数値計算 ==

ミルズ素数が分かればミルズの定数を計算することができる。

: <math>A\approx {a_n}^{1/3^n}.</math>

これにより、[[リーマン予想]]仮定の下の {{math|''A''}} が6,850桁まで計算されている{{r|CaldwellCheng2005}}。ミルズの定数を表す閉じた式は知られておらず、[[有理数]]かどうかも知られていない{{r|Finch2003}}。

== 近似分数 ==

ミルズの定数の近似分数を近い順に記載する。[[連分数|収束分数]]（{{OEIS|id=A123561|name=Continued fraction expansion of Mills' constant}}）は太字で示した。

'''1/1''', 3/2, '''4/3''', 9/7, '''13/10''', '''17/13''', 47/36, '''64/49''', '''81/62''', 145/111, '''226/173''', '''307/235''', '''840/643''', '''1147/878''', 3134/2399, 4281/3277, '''5428/4155''', 6575/5033, '''12003/9188''', 221482/169539, 233485/178727, 245488/187915, 257491/197103, 269494/206291, 281497/215479, 293500/224667, 305503/233855, 317506/243043, 329509/252231, 341512/261419, 353515/270607, 365518/279795, 377521/288983, 389524/298171, 401527/307359, 413530/316547, '''425533/325735''', 4692866/3592273, 5118399/3918008, 5543932/4243743, 5969465/4569478, 6394998/4895213, 6820531/5220948, 7246064/5546683,7671597/5872418, 8097130/6198153, 8522663/6523888, '''8948196/6849623''', '''9373729/7175358''', 27695654/21200339, 37069383/28375697, '''46443112/35551055''', 148703065/113828523, '''195146177/149379578''', '''241589289/184930633''', '''436735466/334310211''', 1115060221/853551055, '''1551795687/1187861266''', 1988531153/1522171477, '''3540326840/2710032743''', 33414737247/25578155953, ...

== 解決 ==
2024年4月30日、Kota Saitoによってミルズの定数が無理数であるとする論文が[[ArXiv]]上に投稿された<ref>{{Citation|title=Mills' constant is irrational|year=2024|last=Saito|first=Kota|arxiv=2404.19461}}</ref>。

== 一般化 ==

<math>\left\lfloor A^{c^n} \right\rfloor</math> は {{math|''c'' {{=}} 3}} 以外でも、{{math|''c'' ≥ 2.106}} であれば {{math|''n'' {{=}} 1, 2, 3, ...}} が全て素数となる {{math|''A''}} が存在する。[[ルジャンドル予想]]が真ならば {{math|''c'' {{=}} 2}} の場合にも {{math|''A''}} が存在することが言える{{r|WarrenJr2013}}が、後にルジャンドル予想を仮定しない証明が与えられた{{r|Matomäki2010}}。

[[床関数]]を[[天井関数]]に置き換えた <math>\left\lceil B^{r^n} \right\rceil</math> でも、任意の自然数 {{math|''r'' ≥ 3}} に対し {{math|''n'' {{=}} 1, 2, 3, ...}} が全て素数となる {{math|''B''}} が存在することが証明されている{{r|Tóth2017}}。{{math|''r'' {{=}} 3}} のとき、 {{math|''B''}} は {{math|1.24055470525201424067...}} であり、生成される素数は次の通り。

: {{math|2, 7, 337, 38272739, ...}}（{{OEIS|A118910}}）

Elsholtz はリーマン予想を'''仮定せずに'''、<math> \left\lfloor A^{10^{10n}} \right\rfloor</math> および <math> \left\lfloor B^{3^{13n}} \right\rfloor</math> について {{math|''n'' {{=}} 1, 2, 3, ...}} が全て素数となる {{math|''A''}} および {{math|''B''}} の値を導いた<ref>{{cite journal |last=Elsholtz|first=Christian |title=Unconditional Prime-Representing Functions, Following Mills |journal=[[American Mathematical Monthly]]|volume=127|issue=7|year=2020|pages=639–642 |doi=10.1080/00029890.2020.1751560 |arxiv = 2004.01285|s2cid=214795216 }}</ref>。

* {{math|''A'' ≈ 1.00536773279814724017}}
* {{math|''B'' ≈ 3.8249998073439146171615551375}}

== 脚注 ==

{{reflist|refs=
<ref name=Mills1947>{{cite journal |last=Mills |first=W. H. |date=1947 |title=A prime-representing function |journal=[[Bulletin of the American Mathematical Society]] |volume=53 |issue=6 |page=604 |doi=10.1090/S0002-9904-1947-08849-2 |doi-access=free |url=https://www.ams.org/journals/bull/1947-53-06/S0002-9904-1947-08849-2/S0002-9904-1947-08849-2.pdf }}</ref>

<ref name=Dudek2016>{{cite journal |last=Dudek |first=Adrian W. |date=2016 |title=An explicit result for primes between cubes |journal=Functiones et Approximatio Commentarii Mathematici |volume=55 |issue=2 |pages=177–197 |doi=10.7169/facm/2016.55.2.3 |arxiv=1401.4233 |mr=3584567 |s2cid=119143089 }}</ref>

<ref name=Caldwell2006>{{cite web |last=Caldwell |first=Chris |date=7 July 2006 |title=The Prime Database |website=Primes |url=http://primes.utm.edu/primes/page.php?id=77907 |access-date=2017-05-11}}</ref>

<ref name=CaldwellCheng2005>{{cite journal |last1=Caldwell |first1=Chris K. |last2=Cheng |first2=Yuanyou |date=2005 |title=Determining Mills' Constant and a Note on Honaker's Problem |journal=Journal of Integer Sequences |volume=8 |at=p. 5.4.1 |url=http://www.cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL8/Caldwell/caldwell78.html |mr=2165330 }}</ref>

<ref name=Finch2003>{{cite book |last=Finch |first=Steven R. |title=Mathematical Constants |date=2003 |publisher=Cambridge University Press |isbn=0-521-81805-2 |contribution=Mills' Constant |at=[https://archive.org/details/mathematicalcons0000finc/page/130 pp. 130–133] }}</ref> <!--Link is active and working.-->

<ref name=WarrenJr2013>{{cite book |last=Warren Jr. |first=Henry S. |date=2013 |title=Hacker's Delight |edition=2nd |publisher=Addison-Wesley Professional |isbn=9780321842688 }}</ref>

<ref name=Matomäki2010>{{cite journal |last=Matomäki |first=K. |author-link=Kaisa Matomäki |date=2010 |title=Prime-representing functions |journal=[[Acta Mathematica Hungarica]] |volume=128 |issue=4 |pages=307–314 |doi=10.1007/s10474-010-9191-x | doi-access=free |s2cid=18960874 |url=http://users.utu.fi/ksmato/papers/Primerepfunc.pdf }}</ref>

<ref name=Tóth2017>{{cite journal |last=Tóth |first=László |date=2017 |title=A Variation on Mills-Like Prime-Representing Functions |journal=Journal of Integer Sequences |volume=20 |at=p. 17.9.8 |arxiv=1801.08014 |url=https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL20/Toth2/toth32.pdf }}</ref>
}}

== 参考文献 ==

* {{cite journal |last=Cheng |first=Yuanyou Furui 2010 |title=Explicit estimate on primes between consecutive cubes |journal=The Rocky Mountain Journal of Mathematics |year=2010 |volume=40 |issue=1 |pages=117–153 |doi=10.1216/RMJ-2010-40-1-117 |arxiv=0810.2113|mr=2607111 |s2cid=15502941 }}
== 外部リンク ==

* {{MathWorld|urlname=MillsConstant|title=Mills' Constant}}
* [http://blogs.ethz.ch/kowalski/2009/04/02/who-remembers-the-mills-number/ Who remembers the Mills number?], E. Kowalski.
* [https://www.youtube.com/watch?v=6ltrPVPEwfo Awesome Prime Number Constant], Numberphile.

{{素数の分類}}

{{DEFAULTSORT:みるすのていすう}}
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