ミルナー予想のソースを表示

{{for|トーラス結び目のスライス種数についてのミルナー予想|ミルナー予想 (トポロジー) }}
{{要改訳}}
数学において、'''ミルナー予想'''(Milnor conjecture)は、[[標数]]が 2 以外の一般の[[可換体|体]] ''F'' の[[ミルナーのK-理論]] (mod&nbsp;2) の論文 {{harvs|txt|first=John|last= Milnor|year=1970|authorlink=John Milnor}} により提示された。この理論は、係数を '''Z'''/2'''Z''' に持つ ''F'' の[[ガロアコホモロジー]]、同じことであるが[[エタールコホモロジー]]に依拠している。本予想は、{{harvs|txt|authorlink=Vladimir Voevodsky|first=Vladimir|last= Voevodsky|year1=1996|year2=2003a|year3=2003b}} で証明された。
<!--{{for|Milnor's conjecture about the slice genus of torus knots|Milnor conjecture (topology)}}
In [[mathematics]], the '''Milnor conjecture''' was a proposal by {{harvs|txt|first=John|last= Milnor|year=1970|authorlink=John Milnor}} of a description of the [[Milnor K-theory]] (mod&nbsp;2) of a general [[field (mathematics)|field]] ''F'' with [[characteristic (algebra)|characteristic]] different from 2, by means of the [[Galois cohomology|Galois]] (or equivalently [[étale cohomology|étale]]) cohomology of ''F'' with coefficients in '''Z'''/2'''Z'''. It was proved by {{harvs|txt|authorlink=Vladimir Voevodsky|first=Vladimir|last= Voevodsky|year1=1996|year2=2003a|year3=2003b}}.-->

==定理のステートメント==
''F'' を標数が 2 でない体とすると、すべての ''n''&nbsp;≥&nbsp;0 に対し、同型

:<math>K_n^M(F)/2 \cong H_{\acute{e}t}^n(F, \mathbb{Z}/2\mathbb{Z})</math>

が成り立つ。ここに ''K'' は{{仮リンク|ミルナー環|en|Milnor ring}}(Milnor ring)を表す。
<!--==Statement of the theorem==
Let ''F'' be a field of characteristic different from&nbsp;2. Then there is an isomorphism

:<math>K_n^M(F)/2 \cong H_{\acute{e}t}^n(F, \mathbb{Z}/2\mathbb{Z})</math>

for all ''n''&nbsp;≥&nbsp;0, where ''K'' denotes the [[Milnor ring]].-->

==証明について==
この定理の[[ウラジーミル・ヴォエヴォドスキー]](Vladimir Voevodsky)による証明は、ヴォエヴォドスキー自身、{{仮リンク|アレクサンドル・メルクリエフ|en|Alexander Merkurjev}}(Alexander Merkurjev)、{{仮リンク|アンドレイ・サスリン|en|Andrei Suslin}}(Andrei Suslin)、{{仮リンク|マーカス・ロスト|en|Markus Rost}}(Markus Rost)、{{仮リンク|ファビアン・モレル|en|Fabien Morel}}(Fabien Morel)、{{仮リンク|エリック・フリーランダー|en|Eric Friedlander}}(Eric Friedlander)、他の多くのアイデアを使っている。アイデアは、{{仮リンク|モチーヴィックコホモロジー|en|motivic cohomology}}(motivic cohomology)（[[代数多様体]]の[[特異コホモロジー|特異コホモロジー論]]の代用物のようなもの）と{{仮リンク|モチーヴィックスティンロッド代数|en|motivic Steenrod algebra}}との新しい融合理論を含んでいる。
<!--==About the proof==
The proof of this theorem by [[Vladimir Voevodsky]] uses several ideas developed by Voevodsky, [[Alexander Merkurjev]], [[Andrei Suslin]], [[Markus Rost]], [[Fabien Morel]], [[Eric Friedlander]], and others, including the newly minted theory of [[motivic cohomology]] (a kind of substitute for [[singular cohomology]] for [[algebraic varieties]]) and the [[motivic Steenrod algebra]].-->

==一般化==
2 を除く[[素数]]に対するこの結果の類似は、ブロック・加藤の予想(Bloch–Kato conjecture)として知られていた。ヴォエヴォドスキーとマーカス・ロストの論文は、2009年にこの予想を完全に証明し、現在は[[ノルム剰余同型定理]]として知られている。
<!--==Generalizations==
The analogue of this result for [[prime number|primes]] other than 2 was known as the [[Bloch–Kato conjecture]].  Work of Voevodsky and [[Markus Rost]] yielded a complete proof of this conjecture in 2009; the result is now called the [[norm residue isomorphism theorem]].-->

==参考文献==
* {{Citation | last1=Mazza | first1=Carlo | last2=Voevodsky | first2=Vladimir | author2-link=Vladimir Voevodsky | last3=Weibel | first3=Charles | title=Lecture notes on motivic cohomology | url=http://math.rutgers.edu/~weibel/motiviclectures.html | publisher=[[American Mathematical Society]] | location=Providence, R.I. | series=Clay Mathematics Monographs | isbn=978-0-8218-3847-1 | mr=2242284 | year=2006 | volume=2 | author-link=Charles Weibel}}
* {{Citation | last1=Milnor | first1=John Willard | author1-link=John Milnor | title=Algebraic K-theory and quadratic forms | doi=10.1007/BF01425486 | mr=0260844 | year=1970 | journal=[[Inventiones Mathematicae]] | issn=0020-9910 | volume=9 | pages=318–344 | issue=4}}
* {{citation | last1=Voevodsky | first1=Vladimir | author1-link=Vladimir Voevodsky  | url=http://www.math.uiuc.edu/K-theory/0170 | title=The Milnor Conjecture | year=1996 | series=Preprint}}
* {{Citation | last1=Voevodsky | first1=Vladimir | author1-link=Vladimir Voevodsky | title=Reduced power operations in motivic cohomology | url=http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_2003__98__1_0 | doi=10.1007/s10240-003-0009-z | mr=2031198 | year=2003a| journal=Institut des Hautes Études Scientifiques. Publications Mathématiques | issn=0073-8301 | issue=98 | pages=1–57 | volume=98}}
* {{Citation | last1=Voevodsky | first1=Vladimir | author1-link=Vladimir Voevodsky | title=Motivic cohomology with Z/2-coefficients | url=http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_2003__98__59_0 | doi=10.1007/s10240-003-0010-6 | mr=2031199 | year=2003b | journal=Institut des Hautes Études Scientifiques. Publications Mathématiques | issn=0073-8301 | issue=98 | pages=59–104 | volume=98}}

==さらに先の書籍==
* {{citation | last=Kahn | first=Bruno | chapter=La conjecture de Milnor (d'après V. Voevodsky) | language=French | editor1-last=Friedlander | editor1-first=Eric M. | editor2-last=Grayson | editor2-first=D.R. | title=Handbook of ''K''-theory | volume=2 | pages=1105–1149 | publisher=[[Springer-Verlag]] | year=2005 | isbn=3-540-23019-X | zbl=1101.19001 }}

{{DEFAULTSORT:みるなあよそう}}
[[Category:K-理論]]
[[Category:証明された予想]]
[[Category:代数的位相幾何学]]
[[Category:数学に関する記事]]