ミンコフスキーの不等式のソースを表示

[[数学]]の[[関数解析学]]における'''ミンコフスキーの不等式'''（ミンコフスキーのふとうしき、{{lang-en|Minkowski's inequality}}）とは、[[Lp空間|''L{{sup|p}}''空間]]が[[ノルム線型空間]]であることを述べる、数学の定理である。[[三角不等式]]の一般化とも言える。数学者[[ヘルマン・ミンコフスキー]]に因む。

== 定理の内容 ==
''S'' を[[測度空間]]、1 ≦ ''p'' ≦ ∞ を任意の実数、''f'' と ''g'' を ''L{{sup|p}}''(''S'') の要素すなわち ''p''乗可積分関数とする。このとき ''f'' + ''g'' も ''L{{sup|p}}''(''S'') に含まれ、
:<math>\|f+g\|_p \le \|f\|_p + \|g\|_p</math>
が成立する。
1 < ''p'' < ∞ における等号成立の必要十分条件は、''f'' と ''g'' が正の[[線形従属]]であること、すなわち、ある c ≧ 0 が存在して ''f'' = ''c''・''g'' もしくは ''g'' = ''c''・''f'' と書けることである。これらの事実から、ミンコフスキーの不等式とは''L''<sup>''p''</sup>(''S'')に対する[[三角不等式]]の一般化と言える。

[[ヘルダーの不等式]]と同様、ミンコフスキーの不等式も[[数え上げ測度]]によって有限次元[[ベクトル空間]]における特別な場合を考えることができる：
:<math>\left( \sum_{k=1}^n |x_k + y_k|^p \right)^{1/p} \le \left( \sum_{k=1}^n |x_k|^p \right)^{1/p} + \left( \sum_{k=1}^n |y_k|^p \right)^{1/p}</math>

ここで ''x''{{sub|1}}, …, ''x{{sub|n}}'', ''y''{{sub|1}}, …, ''y{{sub|n}}'' は任意の[[実数]]または[[複素数]]であり、''n'' はベクトル空間の[[次元]]である。

== 証明 ==
最初に、補題「''f'' と ''g'' の ''p'' 乗ノルムが共に有限ならば ''f'' + ''g'' もそうである」を示さなければならない。まず ''h''(''x'') = ''x{{sup|p}}'' (''p'' > 1) が正の実数の集合'''R'''{{sup|+}} における[[凸関数]]であることから、正の ''a'', ''b'' に対し
:<math>\left(\frac{a+b}{2}\right)^p \le \frac{a^p + b^p}{2}</math>
が従う。これを 2{{sup|''p''}} 倍して (''a'' + ''b''){{sup|''p''}} ≦ 2{{sup|''p''&minus;1}} ''a{{sup|p}}'' + 2{{sup|''p''&minus;1}}''b{{sup|p}}'' を得るが、これは先の補題の成立を示す。

こうして <math>\|f + g\|_p</math> というものが意味を持つようになった。もしそれが[[0|零]]ならば不等式は自明に成り立つので、非零の場合を考える。まず
:<math>\|f + g\|_p^p = \int |f + g|^p \, \mathrm{d}\mu</math>
:<math> \le \int (|f| + |g|)|f + g|^{p-1} \, \mathrm{d}\mu</math>
:<math>=\int |f||f + g|^{p-1} \, \mathrm{d}\mu+\int |g||f + g|^{p-1} \, \mathrm{d}\mu \cdots (*)</math>
であり、ここで[[ヘルダーの不等式]]を使うと
:<math>(*) \le \left( \left(\int |f|^p \, \mathrm{d}\mu\right)^{1/p} + \left (\int |g|^p \,\mathrm{d}\mu\right)^{1/p} \right) \left(\int |f + g|^{(p-1)\left(\frac{p}{p-1}\right)} \, \mathrm{d}\mu \right)^{1-\frac{1}{p}} </math>
:<math>= (\|f\|_p + \|g\|_p)\frac{\|f + g\|_p^p}{\|f + g\|_p}</math>
となる。こうしてミンコフスキーの不等式（の定数倍）が得られた。

== ミンコフスキーの積分不等式 ==
<math>(S_1 , \mu_1) </math>, <math>(S_2 , \mu_2) </math> は''σ''-有限な測度空間で、関数 <math>F:S_1 \times S_2 \rightarrow \mathbb{R} </math> は可測とする。 <math>F \geq 0</math> かつ <math>1 \leq p < \infty</math> ならば次が成り立つ<ref name=":0">{{Cite book|洋書 |title=Real Analysis |year=1999 |publisher=Wiley |page=194 |author=Gerald B. Folland}}</ref>：
:<math>\left[\int_{S_1}\left(\int_{S_2}F(x,y)\, \mu_2(y)\right)^p \mu_1(x)\right]^{\frac{1}{p}} \le \int_{S_2}\left[\int_{S_1}F(x,y)^p\,\mu_1(x)\right]^{\frac{1}{p}}\mu_2(y)</math>

<math>1 \leq p \leq \infty</math> であって、ほとんど全ての <math>y \in S_2 </math> に対して <math>F(\cdot,y) \in L^p(S_1)</math> 、かつ関数 <math>y \mapsto \|F(\cdot , y) \|_p</math> は <math>L^1(S_2)</math> に属するならば、ほとんど全ての <math>x \in S_1 </math> に対して <math>F(x , \cdot) \in L^1(S_2)</math> 、かつ関数 <math>x \mapsto \int F(x,y) d \mu_2(y)</math> は <math>L^p(S_1)</math> であって、次の不等式が成り立つ<ref name=":0" />：
:<math>\left\|\int_{S_2}F(\cdot , y) d \mu_2(y) \right\|_p \leq \int_{S_2} \left\| F(\cdot , y) \right\|_p d \mu_2(y)</math>

== 脚注 ==
{{Reflist}}

== 参考文献 ==
* {{Cite book |author=Hardy, G. H. and Littlewood, J. E. and Pólya, G. |title=Inequalities |series=Cambridge Mathematical Library |edition=Reprint of the 1952 edition |publisher=Cambridge University Press |location = Cambridge |year=1988 |pages=xii+324 |isbn=0-521-35880-9}}（{{Cite book|和書 |author=G. H. ハーディ、J. E. リトルウッド、G. ポーヤ |title=不等式 |series=シュプリンガー数学クラシックス |publisher=シュプリンガー・ジャパン |year=2003 |isbn=978-4-431-71056-1}}第二版の邦訳。索引の追加あり。）
*H. Minkowski, ''Geometrie der Zahlen'', Chelsea, reprint (1953)
* Voitsekhovskii, M.I. (2001), [http://eom.springer.de/M/m064060.htm "Minkowski inequality"], in Hazewinkel, Michiel, ''Encyclopaedia of Mathematics'', Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104

== 関連項目 ==
* [[ヘルダーの不等式]]
* [[ヤングの不等式]]
* [[コーシー＝シュワルツの不等式]]
* [[不等式]]
* [[Lp空間]]

== 外部リンク ==
* {{高校数学の美しい物語|751|ミンコフスキーの不等式とその証明}}

{{DEFAULTSORT:みんこふすきのふとうしき}}
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:関数解析学]]
[[Category:不等式]]
[[Category:人名を冠した数式]]