ムーファン・ループのソースを表示

{{Expand English|Moufang_loop|date=2023-04-09}}
{{Algebraic structures |Group}}

[[数学]]において、{{読み仮名|'''ムーファン・ループ'''||{{lang-en-short|'''Moufang loop'''}} }}とは、特別な種類の[[代数構造]]である。多くの点で群に似ているが、必ずしも[[結合法則]]を満たさない。ムーファン・ループは、{{harvs|txt|authorlink=Ruth Moufang|first=Ruth |last=Moufang|year=1935}} によって導入された。 {{訳語疑問点範囲|滑らかな|date=2023-04-09}}ムーファン・ループは、関連する代数である{{ill2|マルツェフ代数|en|Malcev algebra}} がある。それは[[リー群]]に関連する[[リー代数]]があるのと類似している。<ref group="原文">Smooth Moufang loops have an associated algebra, the Malcev algebra, similar in some ways to how a Lie group has an associated Lie algebra. </ref>

== 定義 ==
'''ムーファン・ループ''' は[[準群#ループ|ループ]] <math>Q</math> で、任意の <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math> に対して、以下の4つの同値な[[恒等式]]を満たすものである (<math>Q</math> の二項演算は{{訳語疑問点範囲|並置記法|date=2023-04-09}}で記述する)：
# <math>x(y(xz)) = ((xy)x)z \quad</math>  … (N2)
# <math>y(x(zx)) = ((yx)z)x \quad</math>  … (N1)
# <math>(xy)(zx) = x((yz)x) \quad</math>  … (M1)
# <math>(xy)(zx) = (x(yz))x \quad</math>  … (M2)
以後の説明の便宜上、式の後ろにつけた番号は、参考文献 Kunen (1995) に倣った。

== 例 ==
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* 任意の[[群 (数学)|群]]は、[[結合法則|結合的]]であるから、従ってムーファン・ループである。
* 非ゼロな[[八元数]]は、乗算に関して、非結合的なムーファン・ループを成す。

== 性質 ==
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=== 結合性 ===
ムーファンループは (群とは異なり) 必ずしも結合的ではない <ref group="注釈">むしろ、結合的なムーファンループは、すなわち群である</ref>。ムーファン恒等式は、結合法則の弱い形式と見なすことができる。
ムーファン恒等式に適当な値を代入することにより、以下の式が得られる：
# <math>x(xz) = (xx)z</math> (式 (N2) において y := e を代入)
# <math>y(xx) = (yx)x</math> (式 (N1) において z := e を代入)
# <math>x(yx) = (xy)x</math> (式 (N2) において z := e を代入 or (N1) において y := e を代入 or (M1) において z := e を代入 or (M2) において y := e を代入)

ムーファンの定理は、ムーファン・ループにおける三つの元 x, y, z が結合法則 <math>(xy)z = x(yz)</math> に従う場合、結合的な部分ループを生成すると述べている。{{訳語疑問点範囲|この定理の系として、ムーファン・ループは、非結合的であると言える。すなわち、ムーファン・ループの任意の二つの元によって生成される部分ループは、結合的であり、従って群になる|date=2023-04-16}} <ref group="原文"> A corollary of this is that all Moufang loops are di-associative (i.e. the subloop generated by any two elements of a Moufang loop is associative and therefore a group).</ref>。

=== 左右の乗算 ===

=== 可逆性 ===

=== ラグランジュ性 ===

=== ムーファン準群 ===
このセクションでは、ループではなく準群の場合にどうなるか考察する。
準群がムーファン恒等式の内の一つを満たす場合は、必ず単位元が存在することが示される<ref name="Kunen, K. (1996). ">Kunen, K. (1995) https://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.52.5356, p2, Theorem 2.2 および 2.3</ref>。
以下に、証明の一部 (Theorem 2.2) だけ述べる。Theorem 2.3 はより難しいので、参考文献を見よ。

<math>Q</math> を準群とする。ムーファンの恒等式の内 (M1) が成り立つと仮定する。
任意の<math>a \in Q</math>を固定する。準群の定義によって、<math>ae = a</math>を満たす<math>e \in Q</math>がただ一つ存在する。
この時、任意の<math>x \in Q</math>に対して、<math>(xa)x = (x(ae))x = (xa)(ex)</math>が成り立つ<ref group="訳注">最初の等号は、ae = a を代入、二番目の等号は (M1): <math>(xy)(zx)=(x(yz))x</math>において<math>x := x, y := a, z := e</math> として適用した</ref>。よって、準群の定義 ([[簡約律|消去律]]) によって<math>x = ex</math>が成り立つ。従って、<math>e</math>は左単位元である。

次に、再び準群の定義により、<math>be = e</math>を満たす<math>b \in Q</math>がただ一つ存在する。この時、
<math>(yb)e = (e(yb))e = (ey)(be) = ye</math>が成り立つ<ref group="訳注">最初の等号は <math>e</math>が左単位元だから、二番目の等号は仮定した (M1) において <math>x := e, y := y, z := b</math>として適用、最後の等号は<math>e</math>左単位元であることと、<math>be = e</math>による</ref>。再び準群の簡約律より、<math>yb = y</math>が成り立つ。従って、<math>b</math>は右単位元である<ref group="訳注">参考文献 Kunen, K. (1995) の証明を和訳、記載したが、右単位元であることの証明は、Wikipedida 英語版 [[:en:Moufang_loop#Moufang_quasigroups]] にある証明の方が簡潔である</ref>。
さらに、<math>b = eb = e</math> であるから、<math>e</math> は(両側)単位元である。

(M2) <math>(xy)(zx)=x((yz)x)</math>だけを仮定する場合も、(式を鏡のように反転させて) 同様に証明できる。
この場合は<math>a \in Q</math>に対して、<math>ea = a</math>を満たす<math>e</math>を取ると、<math>x = xe \quad \forall x \in Q</math>、つまり <math>e</math>は右単位元であることが言える。
先ほどと逆に<math>e b = e</math> を満たす<math>b</math> を取って、同じことをすれば、<math>e = b</math> が左単位元になることも言えるので、両側単位元である。

==Open problems==
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== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}

=== 注釈 ===
{{notelist}}

=== 訳注 ===
<references group="訳注" />
<references group="原文" />

=== 出典 ===
{{reflist|30em}}

== 関連項目 ==
*[[:en:Malcev algebra]]
*[[:en:Bol loop]]
*[[:en:Gyrogroup]]
*[[:en:Moufang plane]]
*[[:en:Moufang polygon]]

== 参考文献 ==
{{refbegin}}
*{{springerEOM|title=Moufang loop|author=V. D. Belousov}}
* {{cite book |first=Edgar G. |last=Goodaire |first2=Sean |last2=May |first3=Maitreyi |last3=Raman |title=The Moufang loops of order less than 64 |publisher=[[Nova Science Publishers]] |year=1999 |isbn=0-444-82438-3 }}
*{{cite journal | last = Gagola III | first = Stephen | title = How and why Moufang loops behave like groups | journal = [[Quasigroups and Related Systems]] | year = 2011 | volume = 19 | pages = 1–22}}
*{{cite journal | last = Grishkov | first = Alexander |author2=Zavarnitsine, Andrei | title = Lagrange's theorem for Moufang loops | journal = [[Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society]] | year = 2005 | volume = 139 | pages = 41–57 | doi = 10.1017/S0305004105008388}}
* {{cite journal |first=K. |last=Kunen |title=Moufang quasigroups |journal=Journal of Algebra |volume=183 |issue=1 |pages=231–4 |year=1996 |doi=10.1006/jabr.1996.0216 |citeseerx=10.1.1.52.5356 }} https://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.52.5356
* {{citation |authorlink=Ruth Moufang |first=R. |last=Moufang |title=Zur Struktur von Alternativkörpern |journal=Math. Ann. |volume=110 |year=1935 |pages=416–430 |doi=10.1007/bf01448037| url=https://eudml.org/doc/159732}}
* {{cite book |first2=Jonathan D. H. |last2=Smith |first1=Anna B. |last1=Romanowska|author1-link=Anna Romanowska |title=Post-Modern Algebra |publisher=Wiley-Interscience |year=1999 |isbn=0-471-12738-8 }}
{{refend}}

==外部リンク==
* [http://www.gap-system.org/Packages/loops.html LOOPS package for GAP] This package has a library containing all nonassociative Moufang loops of orders up to and including 81.
* {{planetmath reference|urlname=moufangloop|title=Moufang loop}}

{{デフォルトソート:むうふあんるうふ}}
[[Category:非結合代数]]
[[Category:群論]]
[[Category:数学に関する記事]]