メリン変換のソースを表示

[[数学]]における'''メリン変換'''（メリンへんかん、{{Lang-en-short|''Mellin transform''}}）とは、[[両側ラプラス変換]]の[[乗法群|乗法版]]と見なされる[[積分変換]]である。この変換は[[ディリクレ級数]]の理論と密接に関連しており、[[数論]]や[[漸近展開]]の理論においてよく用いられる。[[ラプラス変換]]、[[フーリエ変換]]、[[ガンマ関数]]や[[特殊関数]]の理論と関係している。

この変換の名は[[フィンランド]]の数学者{{仮リンク|ヒャルマル・メリン|en|Hjalmar Mellin}}の名にちなむ。

==定義==
局所可積分な関数 ''f'' のメリン変換は

:<math>\left\{\mathcal{M}f\right\}(s) = \varphi(s)=\int_0^{\infty} x^{s-1} f(x)dx </math>

により定義される。
任意の小さな正の数 <math>\epsilon</math> に対して、 <math>x\to +0</math> のとき <math>f(x)=O(x^{-a-\epsilon})</math> 、 <math>x\to +\infty</math> のとき <math>f(x)=O(x^{-b+\epsilon})</math> と評価できるならば、上の積分は絶対収束する。さらに、 <math>\left\{\mathcal{M}f\right\}(s)</math> は <math>a<\Re (s)<b</math> で解析的な関数となる。

また、メリン逆変換は

:<math>\left\{\mathcal{M}^{-1}\varphi\right\}(x) = f(x)=\frac{1}{2 \pi i} \int_{c-i \infty}^{c+i \infty} x^{-s} \varphi(s)\, ds </math>

により定義される。記号は、複素平面上の縦軸に沿った[[線積分]]を意味している。ここで、 ''c'' は <math>a<c<b</math> を満たす任意の実数である。
このような逆が存在するための条件は、{{仮リンク|メリン逆定理|en|Mellin inversion theorem}}で与えられている。

==他の変換との関係==
[[両側ラプラス変換]]は、メリン変換を用いて
:<math> \left\{\mathcal{B} f\right\}(s) = \left\{\mathcal{M} f(-\ln x) \right\}(s)</math>
と表すことが出来る。反対に、メリン変換は両側ラプラス変換により
:<math>\left\{\mathcal{M} f\right\}(s) = \left\{\mathcal{B} f(e^{-x})\right\}(s)</math>
と表される。

メリン変換は、積分核 ''x''<sup>''s''</sup> を用いた、乗法的[[ハール測度]] <math>\frac{dx}{x}</math> についての積分と考えることが出来る。ここで <math>\frac{dx}{x}</math> は拡張 <math>x \mapsto ax</math> について不変であり、したがって <math>\frac{d(ax)}{ax} = \frac{dx}{x}</math> が成り立つ。一方、両側ラプラス変換は加法的ハール測度 <math>dx</math> についての積分と考えられる。ここで <math>dx</math> は移動不変であり、したがって <math>d(x+a) = dx</math> が成り立つ。

同様に[[フーリエ変換]]もメリン変換を用いて表すことが出来、またその逆も出来る。もし両側ラプラス変換を上述のように定義するなら、

:<math>\left\{\mathcal{F} f\right\}(s) = \left\{\mathcal{B} f\right\}(is) 
= \left\{\mathcal{M} f(-\ln x)\right\}(is) </math>

が成立する。反対に

:<math>\left\{\mathcal{M} f\right\}(s) = \left\{\mathcal{B} 
f(e^{-x})\right\}(s) = \left\{\mathcal{F} f(e^{-x})\right\}(-is) </math>

も成立する。メリン変換はまた、{{仮リンク|ニュートン級数|en|Newton series}}や{{仮リンク|二項変換|en|binomial transform}}を、{{仮リンク|ポアソン-メリン-ニュートン・サイクル|en|Poisson&ndash;Mellin&ndash;Newton cycle}}の意味における[[母関数#ポアソン母関数|ポアソン母関数]]と結び付ける。

==例==
===カヘン-メリン積分===
<math>c>0</math>、<math>\Re(y)>0</math> および{{仮リンク|主枝 (数学)|label=主枝|en|principal branch}}上の <math>y^{-s}</math> に対して、

:<math>e^{-y}= \frac{1}{2\pi i}
\int_{c-i\infty}^{c+i\infty} \Gamma(s) y^{-s}\;ds</math>

が成立する。ここで <math>\Gamma(s)</math> は[[ガンマ関数]]である。この積分は'''カヘン-メリン積分'''として知られている<ref>{{cite journal |first=G. H. |last=Hardy |first2=J. E. |last2=Littlewood |title=Contributions to the Theory of the Riemann Zeta-Function and the Theory of the Distribution of Primes |journal=[[Acta Mathematica]] |volume=41 |issue=1 |year=1916 |pages=119–196 |doi=10.1007/BF02422942 }} ''(See notes therein for further references to Cahen's and Mellin's work, including Cahen's thesis.)''</ref>。

===数論===
数論における重要な応用例として、単関数 <math>f(x)=\begin{cases} 0  & x < 1, \\ x^{a}  & x > 1 \end{cases} </math>
に対し 
:<math>\mathcal M f (s)= \frac 1 {s+a} </math>
が成立する、ということが挙げられる。

=== ゼータ関数 ===
メリン変換を用いることで、[[リーマンゼータ関数]] <math>\zeta(s
)</math> についての公式を得ることができる。<math>f(x) = \frac{1}{e^x-1}</math>としたとき<math>\mathcal M f (s) = \int_0^\infty \frac{x^{s-1}}{e^x-1}dx = \int_0^\infty \frac{x^{s-1}e^{-x}}{1-e^{-x}}dx = \int_0^\infty x^{s-1}\sum_{n=1}^\infty e^{-nx}dx  = \sum_{n=1}^\infty \int_0^\infty x^{s-1}e^{-nx} dx = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s} \int_0^\infty x^{s-1} e^{-x} dx = \sum_{n=1}^\infty \frac{\Gamma(s)}{n^s} = \Gamma(s) \zeta(s) </math>よって

<math>\zeta(s) = \frac{1}{\Gamma(s)}\int_0^\infty \frac{x^{s-1}}{e^x-1}dx  </math>

==''L''<sup>2</sup> 上のユニタリ作用素として==
[[ヒルベルト空間]]の研究において、メリン変換は少し異なった方法で定められる。<math>L^2(0,\infty)</math> （[[Lp空間]]を参照されたい）の関数に対して、基本帯（fundamental strip）は常に <math>\tfrac{1}{2}+i\mathbb{R}</math> を含む。そのため、[[線形作用素]] <math>\tilde{\mathcal{M}}</math> を

:<math>\tilde{\mathcal{M}}\colon L^2(0,\infty)\to L^2(-\infty,\infty), \{\tilde{\mathcal{M}}f\}(s) := \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_0^{\infty} x^{-\frac{1}{2}+is} f(x)\,dx </math>

によって定義することが出来る。言い換えると、集合

:<math>\{\tilde{\mathcal{M}}f\}(s):=\tfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\{\mathcal{M}f\}(\tfrac{1}{2}-is) </math>

を定義することが出来る。この作用素は通常 <math>\mathcal{M}</math> とシンプルに記述され、「メリン変換」と呼ばれる。しかしここでは、上での記述と区別するために <math>\tilde{\mathcal{M}}</math> を記号として用いる。このとき{{仮リンク|メリン逆定理|en|Mellin inversion theorem}}により、<math>\tilde{\mathcal{M}}</math> は可逆であって、その逆は

:<math>\tilde{\mathcal{M}}^{-1}\colon L^2(-\infty,\infty) \to L^2(0,\infty), \{\tilde{\mathcal{M}}^{-1}\varphi\}(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} x^{-\frac{1}{2}-is} \varphi(s)\,ds </math>

と得られることが分かる。さらにこの作用素は[[等長写像|等長]]であること、すなわち <math>\|\tilde{\mathcal{M}} f\|_{L^2(-\infty,\infty)}=\|f\|_{L^2(0,\infty)}</math> がすべての<math>f\in L^2(0,\infty)</math> に対して成立することが分かる（この性質のために係数 <math>1/\sqrt{2\pi}</math> が用いられている）。したがって、<math>\tilde{\mathcal{M}}</math> は[[ユニタリ作用素]]である。

==確率論において==
確率論におけるメリン変換は、確率変数の積の分布の研究によく用いられる<ref>{{harvtxt|Galambos|Simonelli|2004|p=15}}</ref>。''X'' を確率変数とし、{{nowrap|''X''<sup>+</sup> {{=}} max{''X'',0}}} をその正の部分、{{nowrap|''X''<sup>&thinsp;&minus;</sup> {{=}} max{&minus;''X'',0}}} をその負の部分としたとき、''X'' のメリン変換は
: <math>
    \mathcal{M}_X(s) = \int_0^\infty  x^s dF_{X^+}(x) + \gamma\int_0^\infty x^s dF_{X^-}(x),
  </math>
として定義される<ref name="GalSim16">{{harvtxt|Galambos|Simonelli|2004|p=16}}</ref>。ここで ''γ'' は、{{nowrap|''γ''<sup>2</sup> {{=}} 1}} を満たすもの（formal indeterminate）である。この変換は、複素帯領域 {{nowrap|''D'' {{=}} {''s'': ''a'' ≤ Re(''s'') ≤ ''b''}}}（ただし{{nowrap|''a'' ≤ 0 ≤ ''b''}}）内のすべての ''s'' に対して存在する<ref name="GalSim16"/>。

確率変数 ''X'' のメリン変換 <math>\scriptstyle\mathcal{M}_X(it)</math> は、その分布関数 ''F<sub>X</sub>'' を一意に定める<ref name="GalSim16"/>。確率論におけるメリン変換が持つ重要な性質として、次が挙げられる: ''X'' および ''Y'' を二つの独立な確率変数としたとき、それらの積のメリン変換は、それぞれのメリン変換の積と等しい<ref>{{harvtxt|Galambos|Simonelli|2004|p=23}}</ref>。すなわち、
: <math>
    \mathcal{M}_{XY}(s) = \mathcal{M}_X(s)\mathcal{M}_Y(s)
  </math>
が成立する。

==応用==
メリン変換は、そのスケール不変性のため、計算機科学の分野で広く用いられている。あるスケール変換を施された関数のメリン変換の絶対値は、もとの関数の絶対値と等しい。このスケール不変性は、フーリエ変換のシフト不変性とも同様である。時間に関してシフトされた関数のフーリエ変換の絶対値は、もとの関数のそれと等しい。

この性質は、画像認識を行う際に役に立つ。物体の画像は、その物体がカメラに近づいたり離れたりするだけで簡単にスケールが変わってしまうからである。

==その他の例==
* [[ディリクレ級数]]へのメリン逆変換の応用について述べたものに、[[ペロンの公式]]がある。
* メリン変換は[[素数計数関数]]の解析に用いられる。また[[リーマンゼータ関数]]の議論にも現れる。
* メリン逆変換は主に[[リース平均]]に現れる。
* メリン変換は[[オーディオ・タイムスケール-ピッチ調整]]に使うことが出来る。

==関連項目==
*{{仮リンク|メリン逆定理|en|Mellin inversion theorem}}
*[[ペロンの公式]]

==注釈==
<references />

==参考文献==
{{refbegin}}
*{{cite book
  | last1 = Galambos  | first1 = Janos
  | last2 = Simonelli | first2 = Italo
  | year = 2004
  | title = Products of random variables: applications to problems of physics and to arithmetical functions
  | publisher = Marcel Dekker, Inc.
  | isbn = 0-8247-5402-6
  | ref = harv }}
*{{cite book |last=Paris |first=R. B. |last2=Kaminski |first2=D. |title=Asymptotics and Mellin-Barnes Integrals |location= |publisher=Cambridge University Press |year=2001 |isbn= }}
*{{cite book |first=A. D. |last=Polyanin |first2=A. V. |last2=Manzhirov |title=Handbook of Integral Equations |publisher=CRC Press |location=Boca Raton |year=1998 |isbn=0-8493-2876-4 }}
*{{cite journal |first=P. |last=Flajolet |first2=X. |last2=Gourdon |first3=P. |last3=Dumas |title=Mellin transforms and asymptotics: Harmonic sums |journal=Theoretical Computer Science |volume=144 |issue=1-2 |pages=3–58 |year=1995 |doi= }}
* [http://eqworld.ipmnet.ru/en/auxiliary/aux-inttrans.htm Tables of Integral Transforms] at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
* {{mathworld|urlname=MellinTransform|title=Mellin Transform}}
{{refend}}

==外部リンク==
* Philippe Flajolet, Xavier Gourdon, Philippe Dumas, ''[http://algo.inria.fr/flajolet/Publications/mellin-harm.pdf Mellin Transforms and Asymptotics: Harmonic sums.]''
* Antonio Gonzáles, Marko Riedel ''[https://groups.google.com/g/es.ciencia.matematicas/c/z8wR-9Xuqkg#eab2e1423902ced1 Celebrando un clásico], newsgroup es.ciencia.matematicas''
* Juan Sacerdoti, ''[http://www.fi.uba.ar/materias/61107/Apuntes/Eu00.pdf Funciones Eulerianas]'' (in Spanish).
* [http://dlmf.nist.gov/2.5 Mellin Transform Methods], [[Digital Library of Mathematical Functions]], 2011-08-29, [[National Institute of Standards and Technology]]
* Antonio De Sena and Davide Rocchesso, ''[http://www.di.univr.it/documenti/ArticoloConferenza/allegato/allegato082603.pdf A FAST MELLIN TRANSFORM WITH APPLICATIONS IN DAFX]''


{{DEFAULTSORT:めりんへんかん}}

[[Category:複素解析]]
[[Category:積分変換]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]