メンガーのスポンジのソースを表示

{{Expand English|Menger sponge|date=2024年5月}}
[[Image:Menger-Schwamm-farbig.png|right|320px|thumb|メンガーのスポンジの構成過程における4回目の反復 (''M''<sub>4</sub>) におけるイメージ図。]]
'''メンガーのスポンジ'''とは1926年<ref>{{citation|first=Karl |last=Menger|title= Allgemeine Räume und Cartesische Räume. I. |year=1926|journal= Communications to the Amsterdam Academy of Sciences}}. English translation reprinted in {{Citation |editor1-last=Edgar |editor1-first=Gerald A. |title=Classics on fractals |publisher=Westview Press. Advanced Book Program, Boulder, CO |series=Studies in Nonlinearity |isbn=978-0-8133-4153-8 |mr=2049443 |year=2004}}</ref>に[[カール・メンガー (数学者)|カール・メンガー]]により発見された[[自己相似]]な[[フラクタル]][[図形]]の一種であり、[[立方体]]に穴をあけたものである。その[[フラクタル次元]]（[[ハウスドルフ次元]]、[[相似次元]]）は <math display="inline">\frac{\log20}{\log3}(=2.7268\ldots)</math>（{{OEIS|id=A102447}}）[[次元]]である。メンガーのスポンジの面は同じくフラクタル図形の[[シェルピンスキーのカーペット]]でできている。
[[ファイル:Karl Menger 1970 Shimer College Wiki.jpg|right|200px|thumb|カール・メンガー]]
メンガーのスポンジはフラクタル図形であるため、正確に[[作図]]することはできない。<!-- 2024年12月15日追記ここから -->また、メンガーのスポンジは[[無限]]個の穴を開けるため正確には[[3次元空間]]では見ることができない。それは表に見える6つの面が[[シェルピンスキーのカーペット]]によって構成されていて面積が[[0]]となるからである。<!-- 2024年12月15日追記ここまで -->

== 面積 ==
メンガーのスポンジの次元は2より大きいため、2次元的な大きさである[[面積]]は無限である。<!--2011/05/10 12:30AM追記　ここから-->表面積が1となる大きな立方体から穴を空けてメンガーのスポンジを構成する場合、一度目の穴を空けると、その表面積は<math>\tfrac{1}{3}</math>増加する。

穴を空ける回数を<math>n</math>とすると、その表面積は<math>2(20/9)^n + 4(8/9)^n</math>と表すことができ、これは無限回繰り返した時、無限大に発散する。
<!--2011/05/10 12:30AM追記　ここまで-->

== 体積 ==
メンガーのスポンジの次元は3より小さい（2.7268...次元）ため、3次元的な大きさである[[体積]]は 0 である。
<!--2011/05/10 12:30AM追記　ここから-->
実際、体積が1となる大きな立方体から穴を空けてメンガーのスポンジを構成する場合、一度穴を空ける毎にその体積は<math>\tfrac{7}{27}</math>ずつ減少するため、穴を空ける回数を<math>n</math>とすると最終的に体積は<math>\lim_{n \to \infty} \left( \tfrac{20}{27} \right) ^{n}=0</math>となり<math>0</math>に収束する。
<!--2011/05/10 12:30AM追記　ここまで-->
<!---->
<!--修正前記事(2011/05/10 12:30AM)-->
<!--実際、メンガーのスポンジを構成する過程で、穴を開けるたびに体積は小さくなり、完全なメンガーのスポンジではその体積は 0 になる。-->

==厳密な定義==
[[File:Menger sponge (Level 0-3).jpg|right|250px|thumb|メンガーのスポンジの3回目 (''M''<sub>3</sub>) までの反復構成過程のフローイメージ図。]]
メンガースポンジの厳密な定義は以下である:

:<math>M := \bigcap_{n\in\mathbb{N}} M_n</math>

ここで<math>M_0</math> は単位立方体で、
:<math>M_{n+1} := \left\{\begin{matrix}
(x,y,z)\in\mathbb{R}^3: &
\begin{matrix}\exists i_1,i_2,i_3\in\{0,1,2\}. (3x-i_1,3y-i_2,3z-i_3)\in M_n \\ \#\{i_j\mid i_j=1\}\leqq 1\end{matrix}
\end{matrix}\right\}.</math>

== 脚注 ==
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=== 注釈 ===
{{Notelist}}
=== 出典 ===
{{Reflist}}

== 関連項目 ==
* [[フラクタル]]、[[フラクタル幾何]]
* [[コッホ曲線]]
* [[アポロニウスのギャスケット]]
* [[シェルピンスキーのギャスケット]]
* [[シェルピンスキーのカーペット]]
* [[立方体]]

{{Fractals}}
{{DEFAULTSORT:めんかあのすほんし}}
[[Category:フラクタル]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]