メンガーのスポンジ

メンガーのスポンジの構成過程における4回目の反復 (M₄) におけるイメージ図。

メンガーのスポンジとは1926年にカール・メンガーにより発見された自己相似なフラクタル図形の一種であり、立方体に穴をあけたものである。そのフラクタル次元（ハウスドルフ次元、相似次元）は $\frac{\log 20}{\log 3}(=2.7268\dots )$（テンプレート:OEIS）次元である。メンガーのスポンジの面は同じくフラクタル図形のシェルピンスキーのカーペットでできている。

カール・メンガー

メンガーのスポンジはフラクタル図形であるため、正確に作図することはできない。また、メンガーのスポンジは無限個の穴を開けるため正確には3次元空間では見ることができない。それは表に見える6つの面がシェルピンスキーのカーペットによって構成されていて面積が0となるからである。

面積

メンガーのスポンジの次元は2より大きいため、2次元的な大きさである面積は無限である。表面積が1となる大きな立方体から穴を空けてメンガーのスポンジを構成する場合、一度目の穴を空けると、その表面積は$\frac{1}{3}$増加する。

穴を空ける回数を$n$とすると、その表面積は$2(20/9{)}^n+4(8/9{)}^n$と表すことができ、これは無限回繰り返した時、無限大に発散する。

体積

メンガーのスポンジの次元は3より小さい（2.7268...次元）ため、3次元的な大きさである体積は 0 である。 実際、体積が1となる大きな立方体から穴を空けてメンガーのスポンジを構成する場合、一度穴を空ける毎にその体積は$\frac{7}{27}$ずつ減少するため、穴を空ける回数を$n$とすると最終的に体積は$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\left(\frac{20}{27}\right)}^n=0$となり$0$に収束する。

厳密な定義

メンガーのスポンジの3回目 (M₃) までの反復構成過程のフローイメージ図。

メンガースポンジの厳密な定義は以下である:

$M:=\bigcap _{n\in \mathbb{N}}{M}_n$

ここで$M_0$ は単位立方体で、

$M_{n+1}:=\left\{\begin{array}{cc}(x,y,z)\in {ℝ}^3:& \begin{array}{c}\mathrm{\exists }{i}_1,i_2,i_3\in \{0,1,2\}.(3x-i_1,3y-i_2,3z-i_3)\in M_n\\ \mathrm{\#}\{i_j\mid i_j=1\}\leqq 1\end{array}\end{array}\right\}.$

関連項目

• フラクタル、フラクタル幾何
• コッホ曲線
• アポロニウスのギャスケット
• シェルピンスキーのギャスケット
• シェルピンスキーのカーペット
• 立方体