モナド (圏論)のソースを表示

{{otheruses||コンピュータソフトウェアへのモナドの使用|モナド (プログラミング)}}

数学の一分野である[[圏論]]において、'''モナド'''（{{lang-en|''monad''}}）とは、[[モノイド]]に似た構造を備えた自己[[関手]]である。モナドは[[半順序集合]]上の閉包作用素の一般化や、{{日本語版にない記事リンク|双圏|en|bicategory}}上のモノイドに似た構造として捉えられ、[[随伴関手]]（または随伴1-セル）と強い関係を持つ。双対概念は{{仮リンク|コモナド|en|Monad (category theory)#Comonads}}である。

歴史的に、この構造は「'''双対標準構成'''（{{Lang-en-short|dual standard construction}}）」「'''トリプル'''（{{Lang-en-short|triple}}）」「'''モノイド'''（{{Lang-en-short|monoid}}）」「'''トライアド'''（{{Lang-en-short|triad}}）」と様々な呼称で呼ばれており、これについて[[ソーンダース・マックレーン]]は『[[圏論の基礎]]』の中で「不幸にも「トリプル」という語がこの意味でしばしば用いられたことが無用な混乱を拡大した」と記している{{Sfn|Mac Lane|2012|p=184}}。「モナド」という語彙は[[ゴットフリート・ライプニッツ|ライプニッツ]]（[[モナド (哲学)]] を参照）からの借用であるが、これを誰が名付けたかは定かではない。少なくとも{{日本語版にない記事リンク|ジャン・ベナブー|en|Jean Bénabou}}の1967年の論文に使用例が存在<ref>{{Cite journal|last=Bénabou|first=Jean|editor-last=Bénabou|editor-first=J.|editor2-last=Davis|editor2-first=R.|editor3-last=Dold|editor3-first=A.|editor4-last=Isbell|editor4-first=J.|editor5-last=MacLane|editor5-first=S.|editor6-last=Oberst|editor6-first=U.|editor7-last=Roos|editor7-first=J. -E.|date=1967|title=Introduction to bicategories|url=https://link.springer.com/chapter/10.1007/BFb0074299|journal=Reports of the Midwest Category Seminar|pages=1–77|publisher=Springer|location=Berlin, Heidelberg|language=en|doi=10.1007/BFb0074299|isbn=978-3-540-35545-8}}</ref>しており、1969年ごろの段階ではマックレーンもまだ呼称を決定していなかったことを{{日本語版にない記事リンク|ロス・ストリート|en|Ross Street}}が明かしている<ref>{{Cite web |url=http://article.gmane.org/gmane.science.mathematics.categories/225/ |title=RE: Monads |access-date=2015-03-26 |publisher=[[:en:Gmane|gmane]] |archive-url=https://web.archive.org/web/20150326175332/http://article.gmane.org/gmane.science.mathematics.categories/225/match= |archive-date=2015-03-26 |url-status=dead|url-status-date=2022-05-21}}</ref>。

== 定義 ==
<math>C</math> が圏のとき、<math>C</math>上の'''モナド'''は関手 <math>T:C\rightarrow C</math> と2つの[[自然変換]] <math>\eta : 1_C \rightarrow T</math> (<math>1_C</math> は <math>C</math> 上の恒等関手) と <math>\mu : T^2 \rightarrow T</math> (<math>T^2</math> は関手 <math>T \circ T : C \rightarrow C</math>) から成り、これらは以下の条件をみたす([[:en:coherence_conditions<!-- 存在せずリンク元がない -->]] と呼ばれることもある)：
* <math>\mu \circ T \mu = \mu \circ \mu T</math> (自然変換 <math>T^3 \rightarrow T</math> として)
* <math>\mu \circ T \eta = \mu \circ \eta T = 1_T</math> (自然 <math>T \rightarrow T</math> として。ここで <math>1_T</math> は <math>T</math> 上の恒等変換である)
これらの条件は以下の[[可換図式]]によって書き直すことができる：
{| style="margin:auto auto"
|[[Image:Monad multiplication.svg|center]]
|[[Image:Monad unit.svg|center]]
|}
<math>T\mu</math> や <math>\mu T</math> という表記を展開し以下の可換図式で表すと以下のようになる：
{| style="margin:auto auto"
|[[Image:Monad multiplication explicit.svg]]
|[[Image:Monad unit explicit.svg]]
|}

=== 自己関手の圏上のモノイドとして ===
圏 <math>C</math> 上の自己関手（{{Mvar|C}} から {{Mvar|C}} への関手）を対象として、それらの間の自然変換を射とする圏を <math>\mathrm{End}_C</math> で表す。このとき、自己関手の合成演算 <math>\circ</math> は <math>\mathrm{End}_C</math> に[[モノイド圏|モノイダル圏]]の構造を与える。<math>\mathrm{End}_C</math> において <math>C</math> 上のモナド <math>(T,\eta,\mu)</math> は、<math>\mathrm{End}_C</math> の対象 <math>T</math> と射 <math>\eta:1_{C}\to T</math>, <math>\mu:T\circ T\to T</math> の組であって、

* <math>\mu\cdot(T\circ\mu)=\mu\cdot(\mu\circ T)</math>
* <math>\mu\cdot(T\circ\eta)=\mu\cdot(\eta\circ T)=1_T</math>

（ここで・は <math>\mathrm{End}_C</math> の射の合成を表す）を満たすものと書ける。すなわち、これは <math>\mathrm{End}_C</math> のモノイド{{Enlink|Monoid (category theory)}}である{{Sfn|Riehl|2016|p=154}}。

== 具体例 ==

=== 閉包作用素 ===
[[完備束]] {{Mvar|L}} 上の写像 {{Math|''c'': ''L'' → ''L''}} が以下の条件を満たすとき、{{Mvar|c}} を{{仮リンク|閉包作用素|en|closure operator}}と言う<ref>{{Cite journal|last=Ward|first=Morgan|date=1942|title=The Closure Operators of a Lattice|url=https://www.jstor.org/stable/1968865|journal=Annals of Mathematics|volume=43|issue=2|pages=191–196|doi=10.2307/1968865|issn=0003-486X}}</ref>：

# {{Math|''x'' ≦ ''y''}} ならば {{Math|''c''(''x'') ≦ ''c''(''y'')}}
# {{Math|''x'' ≦ ''c''(''x'')}}
# {{Math|1=''c''(''c''(''x'')) = ''c''(''x'')}}

{{Mvar|L}} と順序関係 ≦ のなす構造を圏とみなしたとき、条件1と順序関係の性質から {{Mvar|c}} を関手と思うことができる。さらに、[[順序集合]]を圏とみなしたとき、各対象の間の射は高々1つである。このことと条件2,3を用いると、{{Mvar|c}} は {{Mvar|L}} 上のモナドである条件を満たす。半順序上のモナドが閉包作用素であることは {{Harvtxt|Mac Lane|1978|p=139}} でも示されている。

=== 自由モノイド ===
集合の圏 {{Math|'''Set'''}} 上の関手 {{Math|''T'': '''Set''' → '''Set'''}} を<math display="block">TA:=\coprod_{n\geq 0}A^n</math>で定める。すなわち、{{Math|''TA''}} は {{Mvar|A}} の要素の有限長のリスト {{Math|[''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>, ..., ''a''<sub>n</sub>]}}すべてからなる集合である。このとき、{{Math|''η''<sub>''A''</sub>: ''A'' → ''TA''}} を {{Math|''a'' ↦ [''a'']}} として、{{Math|''μ''<sub>''A''</sub>: ''T'' <sup>2</sup>''A'' → ''TA''}} をリストの結合で定めると、{{Mvar|T}} は {{Math|'''Set'''}} 上のモナドとなる。これを'''自由モノイドモナド'''、あるいは'''リストモナド'''と呼ぶ{{Sfn|Riehl|2016|p=156}}。

== モナドと随伴関手 ==
関手 <math display="inline">F:\mathbb{C}\to\mathbb{D}</math> と <math display="inline">G:\mathbb{D}\to\mathbb{C}</math> は随伴、すなわち自然な同型 <math>\varphi:\mathbb{D}(Fx,y)\simeq\mathbb{C}(x,Gy)</math> が存在するとき、関手 <math display="inline">G\circ F:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math> はモナドとなる。ここでモナドを構成する {{Math|''η''<sub>''x''</sub>: ''x'' → ''GFx''}} は随伴の単位射、{{Math|''μ''<sub>''x''</sub>: ''GFGFx'' → ''GFx''}} は随伴の余単位 {{Math|''ε''<sub>''y''</sub>: ''FGy'' → ''y''}} を用いて {{Math|''Gε''<sub>''Fx''</sub>}} で定まる{{Sfn|Mac Lane|2012|p=185}}。

随伴関手はモナドを伴う一方、全てのモナドは随伴関手の合成として表すことができる。圏 {{Math|&#x2102;}} 上のモナド <math>(T,\eta,\mu)</math> に伴う特別な随伴として、{{仮リンク|アイレンベルグ-ムーア圏|en|Monad (category theory)#Monads arising from adjunctions}}<math>\mathbb{C}^T</math>と[[クライスリ圏]] <math>\mathbb{C}_T</math> への随伴が知られている。

=== アイレンベルグ-ムーア圏 ===
圏 {{Math|&#x2102;}} 上のモナド <math>(T,\eta,\mu)</math> に対して、{{Math|&#x2102;}} の対象 {{Mvar|A}} と射 {{Math|''α'': ''TA'' → ''A''}} の組を[[F代数|''T''-代数]]という。また、{{Mvar|T}}-代数 {{Math|(''A'', ''α'')}} と {{Math|(''B'', ''β'')}} の間のモルフィズム {{Math|''f'': (''A'', ''α'') → (''B'', ''β'')}} を、<math>\beta\circ Tf=f\circ\alpha</math> を満たす {{Math|&#x2102;}} の射 {{Math|''f'': ''A'' → ''B''}} で定める。{{Mvar|T}} の'''アイレンベルグ-ムーア圏 <math>\mathbb{C}^T</math>''' とは、{{Mvar|T}}-代数とその間のモルフィズムからなる圏である。

{{Mvar|T}}-代数の圏に対して、随伴となる関手 <math display="inline">F^T:\mathbb{C}\to\mathbb{C}^T</math> と <math display="inline">U^T:\mathbb{C}^T\to\mathbb{C}</math> は次のように定められる：

* <math>F^T(x)=(Tx,\mu_x)</math>, <math>F^T(f)=Tf</math>
* <math>U^T(A,\alpha)=A</math>, <math>U^T(f)=f</math>

定義から <math>U^T\circ F^T=T</math> であり、従って <math>T</math> は <math>F^T</math> と <math>U^T</math> に伴うモナドである{{Sfn|Mac Lane|2012|pp=186&ndash;188}}。

アイレンベルグ-ムーア圏とそれに伴う随伴は、任意の随伴 <math>F\dashv G:\mathbb{C}\rightharpoonup\mathbb{D}</math> に対して <math display="inline">L\circ F=F^T</math> と <math display="inline">U^T\circ L=G</math> を満たす関手 <math>L:\mathbb{D}\to\mathbb{C}^T</math>がただ1つ存在するという性質を持つ<ref>{{Cite journal|last=Eilenberg|first=Samuel|last2=Moore|first2=John C.|date=1965-09-01|title=Adjoint functors and triples|url=https://projecteuclid.org/journals/illinois-journal-of-mathematics/volume-9/issue-3/Adjoint-functors-and-triples/10.1215/ijm/1256068141.full|journal=Illinois Journal of Mathematics|volume=9|issue=3|doi=10.1215/ijm/1256068141|issn=0019-2082}}</ref>。

=== クライスリ圏 ===
圏 {{Math|&#x2102;}} 上のモナド <math>(T,\eta,\mu)</math> に対して、{{Mvar|T}} の'''クライスリ圏''' <math>\mathbb{C}_T</math> は <math display="inline">\mathbb{C}</math> と同一の対象を持ち、<math>\mathbb{C}_T(x,y)=\mathbb{C}(x,Ty)</math> によって定まる射を持つ圏である。このとき、<math>\mathbb{C}_T</math> における射の合成は、<math>f:x\to Ty</math> と <math>g:y\to Tz</math> に対して <math display="inline">x\xrightarrow{f}Ty\xrightarrow{Tg}T^2z\xrightarrow{\mu_z}Tz</math> で定まる。また、恒等射は <math>\eta_x:x\to Tx</math> となる。

クライスリ圏 <math>\mathbb{C}_T</math> に対して、随伴となる関手 <math display="inline">F_T:\mathbb{C}\to\mathbb{C}_T</math> と <math display="inline">U_T:\mathbb{C}_T\to\mathbb{C}</math> は次のように定められる：

* <math>F_T(x)=x</math>, <math>F_T(f)=\eta_y\circ f</math>
* <math>U_T(x)=Tx</math>, <math>U_T(f)=\mu_y\circ Tf</math>

定義から <math>U_T\circ F_T=T</math> であり、従って <math>T</math> は <math>F_T</math> と <math>U_T</math> に伴うモナドである{{Sfn|Mac Lane|2012|pp=196&ndash;197}}<ref>{{Cite journal|last=Kleisli|first=H.|date=1965|title=Every Standard Construction is Induced by a Pair of Adjoint Functors|url=https://www.jstor.org/stable/2034693|journal=Proceedings of the American Mathematical Society|volume=16|issue=3|pages=544–546|doi=10.2307/2034693|issn=0002-9939}}</ref>。

クライスリ圏とそれに伴う随伴は、任意の随伴 <math>F\dashv G:\mathbb{C}\rightharpoonup\mathbb{D}</math> に対して <math display="inline">K\circ F_T=F</math> と <math display="inline">G\circ K=U_T</math> を満たす関手 <math>K:\mathbb{C}_T\to\mathbb{D}</math>がただ1つ存在するという性質を持つ{{Sfn|Mac Lane|2012|p=198|pp=}}。

== モナドのための代数 ==
{{節スタブ}}

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
<references responsive="" />

== 参考文献 ==
* {{Cite book|洋書|title=Categories for the Working Mathematician|year=1978|publisher=Springer New York, NY|issn=0072-5285|doi=10.1007/978-1-4757-4721-8|isbn=978-0-387-98403-2|edition=2|last=Mac Lane|first=Saunders|author-link=ソーンダース・マックレーン}}
** {{Cite book|和書|title=圏論の基礎|year=2012|publisher=丸善出版|last=Mac Lane|first=Saunders|author-link=ソーンダース・マックレーン|isbn=978-4-621-06324-8|language=日本語|translator=三好 博之、高木 理}}
* {{Cite book|洋書|title=Category Theory in Context|year=2016|publisher=Dover Publications|last=Riehl|first=Emily|url=https://emilyriehl.github.io/files/context.pdf|series=Aurora: Modern Math Originals|isbn=9780486809038|ASIN=B06XHZ82GF}}
* {{Citation |洋書|title=Category Theory Lecture Notes |quote=based on Mac Lane’s ''Categories for the Working Mathematician'' |last=Turi |first=Daniele |date= |year=2001|url=http://www.dcs.ed.ac.uk/home/dt/CT/}}
* {{Cite book |last=Barr |first=Michael |title=Category Theory for Computing Science |url=http://www.tac.mta.ca/tac/reprints/articles/22/tr22.pdf |date=2020-04-15 |language=en |last2=Wells |first2=Charles |origyear=1990 |doi=10.5555/92134}}
* {{Cite book |last=Godement |first=Roger |title=Topologie Algébrique et Théorie des Faisceaux |date=1958 |publisher=Hermann |language=en |issn=1088-9485 |location=Paris |others=Actualités Scientifiques et Industrielles, no. 1252, Paris, Hermann, 1958. viii+283 pp. |doi=10.1090/s0002-9904-1960-10369-2}}
* {{Cite book |editor-last=Pedicchio |editor-first=Maria Cristina |title=Categorical foundations: Special Topics in Order, Topology, Algebra, and Sheaf Theory |series=Encyclopedia of Mathematics and Its Applications |year=2004 |publisher=[[Cambridge University Press]] |isbn=0-521-83414-7 |volume=97 |location=Cambridge |editor1-first=Maria Cristina |editor1-last=Pedicchio |editor2-first=Walter |editor2-last=Tholen |zbl=1034.18001}}

== 関連項目 ==
* [[圏論]]
* [[モナド (プログラミング)]]

== 外部リンク ==
*{{YouTube|playlist=PL0E91279846EC843E|Monads}}, five short lectures (with one appendix).
*{{Cite web |url=https://math.ucr.edu/home/baez/week89.html |title=This Week's Finds in Mathematical Physics (Week 89) |accessdate=2013年8月23日 |last=Baez |first=John |date=September 17, 1996}} covers monads in 2-categories.

{{圏論}}

{{DEFAULTSORT:もなと}}
[[Category:圏論]]
[[Category:数学に関する記事]]