モナド (圏論)

数学の一分野である圏論において、モナド（テンプレート:Lang-en）とは、モノイドに似た構造を備えた自己関手である。モナドは半順序集合上の閉包作用素の一般化や、テンプレート:日本語版にない記事リンク上のモノイドに似た構造として捉えられ、随伴関手（または随伴1-セル）と強い関係を持つ。双対概念はテンプレート:仮リンクである。

歴史的に、この構造は「双対標準構成（テンプレート:Lang-en-short）」「トリプル（テンプレート:Lang-en-short）」「モノイド（テンプレート:Lang-en-short）」「トライアド（テンプレート:Lang-en-short）」と様々な呼称で呼ばれており、これについてソーンダース・マックレーンは『圏論の基礎』の中で「不幸にも「トリプル」という語がこの意味でしばしば用いられたことが無用な混乱を拡大した」と記しているテンプレート:Sfn。「モナド」という語彙はライプニッツ（モナド (哲学) を参照）からの借用であるが、これを誰が名付けたかは定かではない。少なくともテンプレート:日本語版にない記事リンクの1967年の論文に使用例が存在しており、1969年ごろの段階ではマックレーンもまだ呼称を決定していなかったことをテンプレート:日本語版にない記事リンクが明かしている。

定義

$C$ が圏のとき、$C$上のモナドは関手 $T:C\to C$ と2つの自然変換 $\eta :1_C\to T$ ($1_C$ は $C$ 上の恒等関手) と $\mu :T^2\to T$ ($T^2$ は関手 $T\circ T:C\to C$) から成り、これらは以下の条件をみたす(en:coherence_conditions と呼ばれることもある)：

• $\mu \circ T\mu =\mu \circ \mu T$ (自然変換 $T^3\to T$ として)
• $\mu \circ T\eta =\mu \circ \eta T=1_T$ (自然 $T\to T$ として。ここで $1_T$ は $T$ 上の恒等変換である)

これらの条件は以下の可換図式によって書き直すことができる：

$T\mu$ や $\mu T$ という表記を展開し以下の可換図式で表すと以下のようになる：

自己関手の圏上のモノイドとして

圏 $C$ 上の自己関手（テンプレート:Mvar から テンプレート:Mvar への関手）を対象として、それらの間の自然変換を射とする圏を ${\mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}}_C$ で表す。このとき、自己関手の合成演算 $\circ$ は ${\mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}}_C$ にモノイダル圏の構造を与える。${\mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}}_C$ において $C$ 上のモナド $(T,\eta ,\mu )$ は、${\mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}}_C$ の対象 $T$ と射 $\eta :1_C\to T$, $\mu :T\circ T\to T$ の組であって、

• $\mu \cdot (T\circ \mu )=\mu \cdot (\mu \circ T)$
• $\mu \cdot (T\circ \eta )=\mu \cdot (\eta \circ T)=1_T$

（ここで・は ${\mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}}_C$ の射の合成を表す）を満たすものと書ける。すなわち、これは ${\mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}}_C$ のモノイドテンプレート:Enlinkであるテンプレート:Sfn。

具体例

閉包作用素

完備束 テンプレート:Mvar 上の写像 テンプレート:Math が以下の条件を満たすとき、テンプレート:Mvar をテンプレート:仮リンクと言う：

1. テンプレート:Math ならば テンプレート:Math
2. テンプレート:Math
3. テンプレート:Math

テンプレート:Mvar と順序関係 ≦ のなす構造を圏とみなしたとき、条件1と順序関係の性質から テンプレート:Mvar を関手と思うことができる。さらに、順序集合を圏とみなしたとき、各対象の間の射は高々1つである。このことと条件2,3を用いると、テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar 上のモナドである条件を満たす。半順序上のモナドが閉包作用素であることは テンプレート:Harvtxt でも示されている。

自由モノイド

集合の圏 テンプレート:Math 上の関手 テンプレート:Math を$$TA:=\coprod _{n\ge 0}{A}^n$$で定める。すなわち、テンプレート:Math は テンプレート:Mvar の要素の有限長のリスト テンプレート:Mathすべてからなる集合である。このとき、テンプレート:Math を テンプレート:Math として、テンプレート:Math をリストの結合で定めると、テンプレート:Mvar は テンプレート:Math 上のモナドとなる。これを自由モノイドモナド、あるいはリストモナドと呼ぶテンプレート:Sfn。

モナドと随伴関手

関手 $F:ℂ\to 𝔻$ と $G:𝔻\to ℂ$ は随伴、すなわち自然な同型 $\phi :𝔻(Fx,y)\simeq ℂ(x,Gy)$ が存在するとき、関手 $G\circ F:ℂ\to ℂ$ はモナドとなる。ここでモナドを構成する テンプレート:Math は随伴の単位射、テンプレート:Math は随伴の余単位 テンプレート:Math を用いて テンプレート:Math で定まるテンプレート:Sfn。

随伴関手はモナドを伴う一方、全てのモナドは随伴関手の合成として表すことができる。圏 テンプレート:Math 上のモナド $(T,\eta ,\mu )$ に伴う特別な随伴として、テンプレート:仮リンク${ℂ}^T$とクライスリ圏 ${ℂ}_T$ への随伴が知られている。

アイレンベルグ-ムーア圏

圏 テンプレート:Math 上のモナド $(T,\eta ,\mu )$ に対して、テンプレート:Math の対象 テンプレート:Mvar と射 テンプレート:Math の組をT-代数という。また、テンプレート:Mvar-代数 テンプレート:Math と テンプレート:Math の間のモルフィズム テンプレート:Math を、$\beta \circ Tf=f\circ \alpha$ を満たす テンプレート:Math の射 テンプレート:Math で定める。テンプレート:Mvar のアイレンベルグ-ムーア圏 ${ℂ}^T$ とは、テンプレート:Mvar-代数とその間のモルフィズムからなる圏である。

テンプレート:Mvar-代数の圏に対して、随伴となる関手 $F^T:ℂ\to {ℂ}^T$ と $U^T:{ℂ}^T\to ℂ$ は次のように定められる：

• $F^T(x)=(Tx,{\mu }_x)$, $F^T(f)=Tf$
• $U^T(A,\alpha )=A$, $U^T(f)=f$

定義から $U^T\circ F^T=T$ であり、従って $T$ は $F^T$ と $U^T$ に伴うモナドであるテンプレート:Sfn。

アイレンベルグ-ムーア圏とそれに伴う随伴は、任意の随伴 $F⊣G:ℂ\rightharpoonup 𝔻$ に対して $L\circ F=F^T$ と $U^T\circ L=G$ を満たす関手 $L:𝔻\to {ℂ}^T$がただ1つ存在するという性質を持つ。

クライスリ圏

圏 テンプレート:Math 上のモナド $(T,\eta ,\mu )$ に対して、テンプレート:Mvar のクライスリ圏 ${ℂ}_T$ は $ℂ$ と同一の対象を持ち、${ℂ}_T(x,y)=ℂ(x,Ty)$ によって定まる射を持つ圏である。このとき、${ℂ}_T$ における射の合成は、$f:x\to Ty$ と $g:y\to Tz$ に対して $x\stackrel{f}{\to }Ty\stackrel{Tg}{\to }{T}^{2}z\stackrel{{\mu }_z}{\to }Tz$ で定まる。また、恒等射は ${\eta }_x:x\to Tx$ となる。

クライスリ圏 ${ℂ}_T$ に対して、随伴となる関手 $F_T:ℂ\to {ℂ}_T$ と $U_T:{ℂ}_T\to ℂ$ は次のように定められる：

• $F_T(x)=x$, $F_T(f)={\eta }_y\circ f$
• $U_T(x)=Tx$, $U_T(f)={\mu }_y\circ Tf$

定義から $U_T\circ F_T=T$ であり、従って $T$ は $F_T$ と $U_T$ に伴うモナドであるテンプレート:Sfn。

クライスリ圏とそれに伴う随伴は、任意の随伴 $F⊣G:ℂ\rightharpoonup 𝔻$ に対して $K\circ F_T=F$ と $G\circ K=U_T$ を満たす関手 $K:{ℂ}_T\to 𝔻$がただ1つ存在するという性質を持つテンプレート:Sfn。

参考文献

• テンプレート:Cite book
  • テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Citation
• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book

関連項目

• 圏論
• モナド (プログラミング)

外部リンク

• テンプレート:YouTube, five short lectures (with one appendix).
• テンプレート:Cite web covers monads in 2-categories.