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'''モリーの法則'''（モリーのほうそく、{{Lang-en-short|Morrie's law}}）は、[[三角関数]]の等式

:<math> \cos(20^\circ) \cdot \cos(40^\circ) \cdot \cos(80^\circ) = \frac{1}{8}</math>

である。これはより一般の恒等式

:<math> 2^n \cdot \prod_{k=0}^{n-1} \cos(2^k \alpha) = \frac{\sin(2^n \alpha)}{\sin(\alpha)}</math>

において ''n'' = 3 , α = 20° とした特別な場合である。なお <math> \sin(180^\circ-x) = \sin(x)</math> より

:<math> \frac{\sin(160^\circ)}{\sin(20^\circ)} = \frac{\sin(180^\circ-20^\circ)}{\sin(20^\circ)} = 1</math>

であることを使っている。 

この式の名称は物理学者の[[リチャード・P・ファインマン]]に由来し、彼はこの等式をこの名でよく呼んでいた。というのもファインマンは幼年時代にMorrie Jacobsという少年からこの式を教わり、それを終生忘れなかったからである<ref>W. A. Beyer, J. D. Louck, and [[Doron Zeilberger|D. Zeilberger]], ''A Generalization of a Curiosity that Feynman Remembered All His Life'', Math. Mag. 69, 43–44, 1996.</ref>。

[[正弦関数]]にも類似の関係が成り立つ。

:<math> \sin(20^\circ) \cdot \sin(40^\circ) \cdot \sin(80^\circ) = \frac{\sqrt 3}{8}</math>

さらに、2番目の等式を1番目の等式で割れば、次が成り立つのは明らかである。

:<math> \tan(20^\circ) \cdot \tan(40^\circ) \cdot \tan(80^\circ) = \sqrt 3 = \tan(60^\circ)</math>

==証明==
正弦関数の[[三角関数の公式の一覧|倍角の公式]]より、

:<math> \sin(2 \alpha) = 2 \sin(\alpha) \cos(\alpha) </math>

<math> \cos(\alpha) </math> について解くと

:<math> \cos(\alpha)=\frac{\sin(2 \alpha)}{2 \sin(\alpha)} </math>

これより

:<math>
\begin{align}
\cos(2 \alpha) & = \frac{\sin(4 \alpha)}{2 \sin(2 \alpha)} \\[6pt]
\cos(4 \alpha) & = \frac{\sin(8 \alpha)}{2 \sin(4 \alpha)} \\
& {}\,\,\,  \vdots \\
\cos(2^{n-1} \alpha) & = \frac{\sin(2^{n} \alpha)}{2 \sin(2^{n-1} \alpha)}
\end{align}
</math>

これらの等式を全て掛け合わせると、

:<math> \cos(\alpha) \cos(2 \alpha) \cos(4 \alpha) \cdots \cos(2^{n-1} \alpha)=
\frac{\sin(2 \alpha)}{2 \sin(\alpha)} \cdot \frac{\sin(4 \alpha)}{2 \sin(2 \alpha)} \cdot \frac{\sin(8 \alpha)}{2 \sin(4 \alpha)} \cdots \frac{\sin(2^{n} \alpha)}{2 \sin(2^{n-1} \alpha)} </math>

が得られる。中間の因子の分子・分母はキャンセルし、最初の因子の分母と、2のべき乗と、最後の因子の分子だけが残る。これより、

:<math> \prod_{k=0}^{n-1} \cos(2^k \alpha)=\frac{\sin(2^n \alpha)}{2^n \sin(\alpha)} </math>

これが一般化されたモリーの法則である。

==脚注==
<References/>

==外部リンク==
* {{MathWorld|title=Morrie's Law|urlname=MorriesLaw}}

{{DEFAULTSORT:もりいのほうそく}}
[[Category:三角法]]
[[Category:数学に関する記事]]