モリーの法則

モリーの法則（モリーのほうそく、テンプレート:Lang-en-short）は、三角関数の等式

$\cos (20^{\circ })\cdot \cos (40^{\circ })\cdot \cos (80^{\circ })=\frac{1}{8}$

である。これはより一般の恒等式

$2^n\cdot \prod _{k=0}^{n-1}\cos (2^k\alpha )=\frac{\sin (2^n\alpha )}{\sin (\alpha )}$

において n = 3 , α = 20° とした特別な場合である。なお $\sin (180^{\circ }-x)=\sin (x)$ より

$\frac{\sin (160^{\circ })}{\sin (20^{\circ })}=\frac{\sin (180^{\circ }-20^{\circ })}{\sin (20^{\circ })}=1$

であることを使っている。

この式の名称は物理学者のリチャード・P・ファインマンに由来し、彼はこの等式をこの名でよく呼んでいた。というのもファインマンは幼年時代にMorrie Jacobsという少年からこの式を教わり、それを終生忘れなかったからである。

正弦関数にも類似の関係が成り立つ。

$\sin (20^{\circ })\cdot \sin (40^{\circ })\cdot \sin (80^{\circ })=\frac{\sqrt{3}}{8}$

さらに、2番目の等式を1番目の等式で割れば、次が成り立つのは明らかである。

$\tan (20^{\circ })\cdot \tan (40^{\circ })\cdot \tan (80^{\circ })=\sqrt{3}=\tan (60^{\circ })$

証明

正弦関数の倍角の公式より、

$\sin (2\alpha )=2\sin (\alpha )\cos (\alpha )$

$\cos (\alpha )$ について解くと

$\cos (\alpha )=\frac{\sin (2\alpha )}{2\sin (\alpha )}$

これより

$\begin{array}{cc}\cos (2\alpha )& =\frac{\sin (4\alpha )}{2\sin (2\alpha )}\\ \cos (4\alpha )& =\frac{\sin (8\alpha )}{2\sin (4\alpha )}\\ & ⋮\\ \cos (2^{n-1}\alpha )& =\frac{\sin (2^n\alpha )}{2\sin (2^{n-1}\alpha )}\end{array}$

これらの等式を全て掛け合わせると、

$\cos (\alpha )\cos (2\alpha )\cos (4\alpha )\cdots \cos (2^{n-1}\alpha )=\frac{\sin (2\alpha )}{2\sin (\alpha )}\cdot \frac{\sin (4\alpha )}{2\sin (2\alpha )}\cdot \frac{\sin (8\alpha )}{2\sin (4\alpha )}\cdots \frac{\sin (2^n\alpha )}{2\sin (2^{n-1}\alpha )}$

が得られる。中間の因子の分子・分母はキャンセルし、最初の因子の分母と、2のべき乗と、最後の因子の分子だけが残る。これより、

$\prod _{k=0}^{n-1}\cos (2^k\alpha )=\frac{\sin (2^n\alpha )}{2^n\sin (\alpha )}$

これが一般化されたモリーの法則である。

外部リンク

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