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'''モーデル作用素'''(モーデルさようそ、{{lang|en|Mordell operator}})とは、関数<math>\Delta(z):=q \prod^\infty_{n=1}\left(1 - q^n\right)^{24}</math>に作用する[[作用素 (関数解析学)|作用素]]。

==定義==
各素数<math>p</math>に対して、
モーデル作用素<math>T(p)</math>は、[[シュリニヴァーサ・ラマヌジャン|ラマヌジャン]]が考察した関数<math>\Delta(z)</math>
<ref>黒川信重・栗原将人・斎藤毅共著「数論Ⅱ：岩澤理論と保型形式」岩波書店、2005、ISBN 4-00-005528-3、p.382.</ref>
:<math>\Delta(z):=q \prod^\infty_{n=1}\left(1 - q^n\right)^{24}=:\sum^\infty_{n=1}\tau(n) q^n,\quad q:=\exp\left(2 \pi i z \right),\quad z\in H:=\{\zeta |\mathrm{Im} \zeta > 0\},</math>
に作用する作用素として、以下のように定義される
<ref name="number_theory_2_385">黒川他「数論Ⅱ」p.385.</ref>。
:<math>(T(p) \Delta)(z) := \frac{1}{p}\sum^{p-1}_{l=0}\Delta\left(\frac{z+l}{p}\right)+p^{11}\Delta(pz).</math>

==歴史==
[[1916年]]にラマヌジャンは<math>\tau(p)</math>に関して、次の2つの命題を予想した<ref name="number_threory_2_384">黒川他「数論Ⅱ」p.384.</ref>。
:*[[ディリクレ級数]]<math>L(s, \Delta)</math>を<math>L(s, \Delta):= \sum^\infty_{n=1}\tau(n) n^{-s}</math>と定義すると<math>L(s, \Delta) = \prod_{p=\mathrm{prime\; number}}\left(1 - \tau(p) p^{-s} + p^{11 - 2s}\right)^{-1}</math>が成立する。
:*素数<math>p</math>に対して、<math>|\tau(p)| < 2 p ^{11/2}</math>が成立する。(「ラマヌジャン予想」と呼ばれる。[[1974年]]に[[ピエール・ルネ・ドリーニュ|ドリーニュ]]によって証明された<ref>黒川他「数論Ⅱ」pp.385, 395.</ref><ref>G.H.Hardy, ''Ramanujan:Twelve lectures on subjects suggested by his life and work''(reprint), 1999, AMS Chelsea Publishing, ISBN 0-8218-2023-0, p.246.</ref><ref>P.Delignu, ''La conjecture de Weil. I.'', Inst. Hautes Etudes Sci. Publ. Math.(1974), no.43, 273-307.</ref>。)
さらに、次の命題を証明した<ref name="number_threory_2_384" />。
:*素数<math>p</math>に対して、<math>\tau(p)\equiv 1 + p^{11} (\mod 691).</math>
[[1917年]]、モーデルはこの3つのうち最初の命題を証明した<ref name="number_theory_2_385" /><ref>G.H.Hardy, ''Ramanujan'', p.184.</ref>
<ref>L.J.Mordell, ''On Mr.Ramanujan's empirical expansions of moduler functions'', Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, ''19''(1917)117-124.</ref>。
その時の証明の中で、モーデル作用素を定義し、
<math>\Delta(z)</math>がモーデル作用素の固有状態で、その固有値が<math>\tau(p)</math>であることを示した。
:<math>(T(p)\Delta)(z) = \tau(p)\Delta(z).</math>

==出典==
{{reflist}}

{{デフォルトソート:もおてるさようそ}}
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[[Category:作用素論]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]