モーデル作用素

モーデル作用素(モーデルさようそ、テンプレート:Lang)とは、関数$\mathrm{\Delta }(z):=q\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{(1-q^n)}^{24}$に作用する作用素。

定義

各素数$p$に対して、 モーデル作用素$T(p)$は、ラマヌジャンが考察した関数$\mathrm{\Delta }(z)$

$\mathrm{\Delta }(z):=q\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{(1-q^n)}^{24}=:\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\tau (n)q^n,q:=\exp \left(2\pi iz\right),z\in H:=\{\zeta |\mathrm{I}\mathrm{m}\zeta >0\},$

に作用する作用素として、以下のように定義される 。

$(T(p)\mathrm{\Delta })(z):=\frac{1}{p}\sum _{l=0}^{p-1}\mathrm{\Delta }\left(\frac{z+l}{p}\right)+p^{11}\mathrm{\Delta }(pz).$

歴史

1916年にラマヌジャンは$\tau (p)$に関して、次の2つの命題を予想した。

• ディリクレ級数$L(s,\mathrm{\Delta })$を$L(s,\mathrm{\Delta }):=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\tau (n)n^{-s}$と定義すると$L(s,\mathrm{\Delta })=\prod _{p=\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{u}\mathrm{m}\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{r}}{(1-\tau (p)p^{-s}+p^{11-2s})}^{-1}$が成立する。
• 素数$p$に対して、$|\tau (p)|<2p^{11/2}$が成立する。(「ラマヌジャン予想」と呼ばれる。1974年にドリーニュによって証明された。)

さらに、次の命題を証明した。

• 素数$p$に対して、$\tau (p)\equiv 1+p^{11}(mod691).$

1917年、モーデルはこの3つのうち最初の命題を証明した 。 その時の証明の中で、モーデル作用素を定義し、 $\mathrm{\Delta }(z)$がモーデル作用素の固有状態で、その固有値が$\tau (p)$であることを示した。

$(T(p)\mathrm{\Delta })(z)=\tau (p)\mathrm{\Delta }(z).$