モーメント (確率論)のソースを表示

{{Otheruses|確率論のモーメント|数学のモーメント|モーメント (数学)|物理量のモーメント|モーメント}}
[[確率論]]や[[統計学]]における'''モーメント'''（{{lang-en-short|moment}}）または'''積率'''（せきりつ）とは、[[確率変数]]のべき乗に対する[[期待値]]で与えられる特性値。

== 定義と性質 ==
{{mvar|X}} を[[確率変数]]、{{mvar|α}} を定数としたときに、{{mvar|α}} に関する'''{{mvar|n}}次モーメント''' ({{mvar|n}}-th order moment) は次で定義される。
:<math>\langle (X- \alpha )^n \rangle \quad n=1,2, \dots</math>

ここで、⟨…⟩ は[[期待値]]を取る操作を表す。

{{mvar|X}} が[[離散確率分布|離散型]]の場合は、
:<math>\langle (X- \alpha)^n \rangle =\sum_{i=1}^{\infty} (x_i -\alpha)^n \Pr (X=x_i )</math>
ここで {{math2|''x''{{sub|1}}, ''x''{{sub|2}}, …}} は確率変数 {{mvar|X}} の実現値である。

{{mvar|X}} が連続型の場合は、
:<math>\langle (X- \alpha)^n \rangle  = \int_{-\infty}^{\infty} (x-\alpha )^n  p(x) \, dx</math>
ここで {{math|''p''(''x'')}} は確率変数 {{mvar|X}} の確率密度関数である。

特に {{math2|''α'' {{=}} 0}} の場合に、モーメントは {{mvar|m{{sub|n}}}} と記される。
:<math>m_n= \langle X^n \rangle \quad n=1,2, \dots</math>
[[期待値]] {{mvar|μ}} は 1次のモーメント {{math|''m''{{sub|1}}}} に等しい。[[分散 (統計学)|分散]] {{math|''σ''{{sup|2}}}} は これと2次のモーメント、つまり {{math2|''m''{{sub|1}}, ''m''{{sub|2}}}} を用いて表すことができる。すなわち、
:<math>\begin{align}
\mu &=m_1, \\
\sigma^2 &= m_2 - {m_1}^2 .
\end{align}</math>

{{math|''m''{{sub|1}}}} に関する {{mvar|n}} 次モーメントを {{mvar|μ{{sub|n}}}} で表し、'''{{mvar|n}} 次の中心モーメント''' ({{mvar|n}}-th order center moment)、または'''{{mvar|n}} 次の中心化モーメント'''という。
:<math>\mu_n =\langle (X- m_1 )^n \rangle \quad n=1,2,\dots</math>
ここで、2次の中心モーメント {{math|''μ''{{sub|2}}}} は分散と一致する。

一般の確率分布において、モーメントは必ずしも有限値として存在するとは限らない。実際、[[コーシー分布]]
:<math>p(x)=\frac{1}{\pi} \frac{1}{x^2 +1}</math>
において、モーメントは全て無限大に発散する<ref>コーシー分布の特性関数
:<math>\Phi(\xi )=e^{-|\xi |}</math>
は、{{math|0}} において解析的ではなく、このことからもモーメントが存在しないことが分かる。</ref>。

== 積率母関数による表示 ==
確率変数 {{mvar|X}} の[[積率母関数]]を次の式で定義する：
:<math>\begin{align}
M(\xi) &:= \langle e^{\xi X} \rangle \\
  &=\int_{-\infty}^{\infty} e^{\xi x} p(x) \, dx
\end{align}</math>

その級数表示
:<math>M(\xi )=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\langle X^n \rangle}{n!} \xi^n</math>
においては、{{mvar|ξ}} の {{mvar|n}} 次の項の係数部分に {{mvar|n}} 次のモーメント {{math2|''m{{sub|n}}'' {{=}} ⟨''X{{sup|n}}''⟩}} が現れる。この関係からモーメントは、モーメント母関数の導関数によって、次のように与えることができる。
:<math>m_n= \frac{d^n M(\xi)}{d\xi^n} \biggr\vert_{\xi=0}</math>

== 特性関数による表示 ==
確率変数''X''に対する[[特性関数 (確率論)|特性関数]]を次のように定義する：
:<math>\begin{align}
\Phi(\xi) &:=\langle e^{i \xi X} \rangle \\
& =\int_{-\infty}^{\infty} e^{i \xi x} p(x)\, dx
\end{align}</math>
特性関数についても、その級数表示において、{{mvar|n}} 次のモーメントは {{mvar|ξ}} の {{mvar|n}} 次の項の係数に現れる。
:<math>\Phi (\xi )=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\langle X^n \rangle}{n!}(i \xi)^n</math>
この関係からモーメントは、特性関数の導関数によって、次のように与えることができる。
:<math>m_n = \frac{1}{i^n} \frac{d^n \Phi(\xi)}{d\xi^n} \biggr \vert_{\xi=0}</math>

== キュムラントとの関係 ==
{{mvar|n}} 次の[[キュムラント]]は、{{mvar|n}} 次以下のモーメントで表すことができる。
:<math>\begin{align}
c_1 & = m_1 \\
c_2 & = m_2 - {m_1}^2 \\
c_3 & = m_3 - 3m_1 m_2 + 2{m_1}^3 \\
c_4 & = m_4 - 4m_3 m_1 - 3{m_2}^2 + 12m_2 {m_1}^2 - 6{m_1}^4 \\
& \vdots
\end{align}</math>

逆に、{{mvar|n}} 次のモーメントは、{{mvar|n}} 次以下のキュムラントで表すことができる。
:<math>\begin{align}
m_1 & = c_1 \\
m_2 & = c_2 + {c_1}^2 \\
m_3 & = c_3 + 3c_1 c_2 + {c_1}^3 \\
m_4 & = c_4  +3 {c_2}^2 + 4c_1 c_3 + 6{c_1}^2 c_2 + {c_1}^4 \\
& \vdots
\end{align}</math>

== 例 ==
=== ポアソン分布 ===
確率質量関数が
:<math>P(x=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}</math>
で与えられる[[ポアソン分布]]において、モーメントは次のように与えられる。
:<math>\begin{align}
m_1 & = \lambda \\
m_2 & = \lambda^2 + \lambda \\
m_3 & = \lambda^3 + 3\lambda^2 + \lambda \\
& \vdots
\end{align}</math>

=== 正規分布 ===
確率密度関数が
:<math>p(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma} \exp \left({-\frac{(x-\mu )^2}{2\sigma^2}} \right)</math>
で与えられる[[正規分布]]において、{{mvar|n}} 次の中心モーメントは {{mvar|n}} が奇数のときは {{math|0}} で、偶数のときのみ {{math|0}} でない値をとる。
:<math>\mu_n = \begin{cases}
0 & (n:\text{odd}) \\
(n-1)!! ~ \sigma^n &(n:\text{even})
\end{cases}</math>
{{math|''n''!!}} は[[二重階乗]]。

== 脚注 ==
{{Reflist}}

== 参考文献 ==
*[[添田喬]]、[[太田光雄]]、[[大松繁]]『数理統計の基礎と応用』日新出版 (2000),　ISBN 978-4817301079

== 関連項目 ==
*[[モーメント (数学)]]（より一般的なモーメントの定義）
*{{仮リンク|階乗モーメント|en|Factorial moment}}（特に非負整数値の確率変数で重宝する）

{{確率論}}
{{DEFAULTSORT:もおめんと}}
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[[Category:統計学]]
[[Category:数学に関する記事]]