モーメント (確率論)

テンプレート:Otheruses 確率論や統計学におけるモーメント（テンプレート:Lang-en-short）または積率（せきりつ）とは、確率変数のべき乗に対する期待値で与えられる特性値。

定義と性質

テンプレート:Mvar を確率変数、テンプレート:Mvar を定数としたときに、テンプレート:Mvar に関するテンプレート:Mvar次モーメント (テンプレート:Mvar-th order moment) は次で定義される。

$⟨(X-\alpha {)}^n⟩n=1,2,\dots$

ここで、⟨…⟩ は期待値を取る操作を表す。

テンプレート:Mvar が離散型の場合は、

$⟨(X-\alpha {)}^n⟩=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}(x_i-\alpha {)}^n\mathrm{Pr}(X=x_i)$

ここで テンプレート:Math2 は確率変数 テンプレート:Mvar の実現値である。

テンプレート:Mvar が連続型の場合は、

$⟨(X-\alpha {)}^n⟩=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(x-\alpha {)}^{n}p(x)dx$

ここで テンプレート:Math は確率変数 テンプレート:Mvar の確率密度関数である。

特に テンプレート:Math2 の場合に、モーメントは テンプレート:Mvar と記される。

$m_n=⟨X^n⟩n=1,2,\dots$

期待値 テンプレート:Mvar は 1次のモーメント テンプレート:Math に等しい。分散 テンプレート:Math は これと2次のモーメント、つまり テンプレート:Math2 を用いて表すことができる。すなわち、

$\begin{array}{cc}\mu & =m_1,\\ {\sigma }^2& =m_2-{m_1}^2.\end{array}$

テンプレート:Math に関する テンプレート:Mvar 次モーメントを テンプレート:Mvar で表し、テンプレート:Mvar 次の中心モーメント (テンプレート:Mvar-th order center moment)、またはテンプレート:Mvar 次の中心化モーメントという。

${\mu }_n=⟨(X-m_1{)}^n⟩n=1,2,\dots$

ここで、2次の中心モーメント テンプレート:Math は分散と一致する。

一般の確率分布において、モーメントは必ずしも有限値として存在するとは限らない。実際、コーシー分布

$p(x)=\frac{1}{\pi }\frac{1}{x^2+1}$

において、モーメントは全て無限大に発散する。

積率母関数による表示

確率変数 テンプレート:Mvar の積率母関数を次の式で定義する：

$\begin{array}{cc}M(\xi )& :=⟨e^{\xi X}⟩\\ & =\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{\xi x}p(x)dx\end{array}$

その級数表示

$M(\xi )=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{⟨X^n⟩}{n!}{\xi }^n$

においては、テンプレート:Mvar の テンプレート:Mvar 次の項の係数部分に テンプレート:Mvar 次のモーメント テンプレート:Math2 が現れる。この関係からモーメントは、モーメント母関数の導関数によって、次のように与えることができる。

$m_n=\frac{d^{n}M(\xi )}{d{\xi }^n}{|}_{\xi =0}$

特性関数による表示

確率変数Xに対する特性関数を次のように定義する：

$\begin{array}{cc}\mathrm{\Phi }(\xi )& :=⟨e^{i\xi X}⟩\\ & =\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{i\xi x}p(x)dx\end{array}$

特性関数についても、その級数表示において、テンプレート:Mvar 次のモーメントは テンプレート:Mvar の テンプレート:Mvar 次の項の係数に現れる。

$\mathrm{\Phi }(\xi )=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{⟨X^n⟩}{n!}(i\xi {)}^n$

この関係からモーメントは、特性関数の導関数によって、次のように与えることができる。

$m_n=\frac{1}{i^n}\frac{d^n\mathrm{\Phi }(\xi )}{d{\xi }^n}{|}_{\xi =0}$

キュムラントとの関係

テンプレート:Mvar 次のキュムラントは、テンプレート:Mvar 次以下のモーメントで表すことができる。

$\begin{array}{cc}{c}_1& =m_1\\ c_2& =m_2-{m_1}^2\\ c_3& =m_3-3m_1{m}_2+2{m_1}^3\\ c_4& =m_4-4m_3{m}_1-3{m_2}^2+12m_2{m_1}^2-6{m_1}^4\\ & ⋮\end{array}$

逆に、テンプレート:Mvar 次のモーメントは、テンプレート:Mvar 次以下のキュムラントで表すことができる。

$\begin{array}{cc}{m}_1& =c_1\\ m_2& =c_2+{c_1}^2\\ m_3& =c_3+3c_1{c}_2+{c_1}^3\\ m_4& =c_4+3{c_2}^2+4c_1{c}_3+6{c_1}^2{c}_2+{c_1}^4\\ & ⋮\end{array}$

例

ポアソン分布

確率質量関数が

$P(x=k)=\frac{{\lambda }^k{e}^{-\lambda }}{k!}$

で与えられるポアソン分布において、モーメントは次のように与えられる。

$\begin{array}{cc}{m}_1& =\lambda \\ m_2& ={\lambda }^2+\lambda \\ m_3& ={\lambda }^3+3{\lambda }^2+\lambda \\ & ⋮\end{array}$

正規分布

確率密度関数が

$p(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }\exp \left(-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}\right)$

で与えられる正規分布において、テンプレート:Mvar 次の中心モーメントは テンプレート:Mvar が奇数のときは テンプレート:Math で、偶数のときのみ テンプレート:Math でない値をとる。

${\mu }_n=\{\begin{array}{cc}0& (n:\text{odd})\\ (n-1)!!{\sigma }^n& (n:\text{even})\end{array}$

テンプレート:Math は二重階乗。

参考文献

• 添田喬、太田光雄、大松繁『数理統計の基礎と応用』日新出版 (2000),　ISBN 978-4817301079

関連項目

• モーメント (数学)（より一般的なモーメントの定義）
• テンプレート:仮リンク（特に非負整数値の確率変数で重宝する）