積率母関数

テンプレート:出典の明記確率論や統計学において、確率変数 X の積率母関数またはモーメント母関数（英: moment-generating function）は、期待値が存在するならば次の式で定義される。

M_{X} (t) : = E (e^{t X}), t \in ℝ

積率母関数がそのように呼ばれるのは、t = 0 の周囲の開区間上でそれが存在する場合、それが確率分布のモーメントの母関数であるからである。

E (X^{n}) = M_{X}^{(n)} (0) = \frac{d^{n} M_{X}}{d t^{n}} (0)

積率母関数がそのような区間について定義される場合、それにより確率分布が一意に決定される。

積率母関数で重要なことは、積分が収束しない場合、積率（モーメント）と積率母関数が存在しない可能性がある点である。これとは対照的に特性関数は常に存在するため、そちらを代わりに使うこともある。

より一般化すると、n-次元の確率変数ベクトル(ベクトル値確率変数) $𝑿 = (X_{1}, \dots, X_{n})$ の場合、 $t X$ の代わりに $𝒕 \cdot 𝑿 \equiv 𝒕^{⊺} 𝑿$ を使い、次のように定義する。

M_{𝑿} (𝒕) : = E (e^{𝒕 \cdot 𝑿})

計算

積率母関数はリーマン＝スティルチェス積分で次のように与えられる。

M_{X} (t) = \int_{- \infty}^{\infty} e^{t x} d F (x)

ここで F は累積分布関数である。

X が連続な確率密度関数 f(X) を持つ場合、 $M_{X} (- t)$ は f(x) の両側ラプラス変換である。

\begin{matrix} M_{X} (t) & = \int_{- \infty}^{\infty} e^{t x} f (x) d x \\ = \int_{- \infty}^{\infty} (1 + t x + \frac{t^{2} x^{2}}{2!} + \dots) f (x) d x \\ = 1 + t m_{1} + \frac{t^{2} m_{2}}{2!} + \dots \end{matrix}

ここで、 $m_{i}$ は i番目のモーメントである。

2つの独立な確率変数の和の積率母関数は次のようになる。

M_{X + Y} (t) = E (e^{t (X + Y)}) = E (e^{t X}) E (e^{t Y}) = M_{X} (t) M_{Y} (t)

X₁, X₂, ..., X_n が一連の独立確率変数で（分布が同一である必要は無い）、

S_{n} = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} X_{i}

としたとき（a_i は定数）、S_n の確率密度関数はそれぞれの X_i の確率密度関数の畳み込みとなり、S_n の積率母関数は次のようになる。

M_{S_{n}} (t) = M_{X_{1}} (a_{1} t) M_{X_{2}} (a_{2} t) \dots M_{X_{n}} (a_{n} t) .

積率母関数に関連して、確率論にはいくつかの変換が存在する。

特性関数: 特性関数 $φ_{X} (t)$ と積率母関数は $φ_{X} (t) = M_{i X} (t) = M_{X} (i t)$ という関係にある。すなわち、特性関数は iX の積率母関数であり、X の積率母関数を虚数軸で評価したものである。
キュムラント母関数: キュムラント母関数は積率母関数の対数として定義される。特性関数の対数をキュムラント母関数とする場合もあるが、通常そちらは「第2」キュムラント母関数と呼ぶ。
確率母関数: 確率母関数は $G (z) = E [z^{X}]$ で定義される。したがって、 $G (e^{t}) = E [e^{t X}] = M_{X} (t)$ である。

↑ Allan Gut: Probability: A Graduate Course. Springer-Verlag, 2012, ISBN 978-1-4614-4707-8, Chapter 8, Example 8.2.